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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2021八上·郑州期末)
1. （1）阅读理解
  我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
3. （2）问题解决
  勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC＝12，BC＝5，求EF的值.
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1. (2022八上·盘山期末) 如图，已知 $\text{[math]}$ ，要说明 $\text{[math]}$ ，需从下列条件中选一个，错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·黄石月考)
1. （1）如图1，已知 $\text{[math]}$ ，以AB、AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE ，连接BE、CD.猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由.
3. （2）在幸福村的休闲广场上种有四棵景观树，在如图2所示A、B、C、E的位置，数学兴趣小组的同学测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米.
  ①求A、C两棵树之间的距离；（结果保留根号）
  ②如果 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求B、E两棵树之间的距离.
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1. (2021八下·东城期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
3. （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
5. （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
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1. (2023·绥中模拟) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $\text{[math]}$ 运动，运动到点B、C停止.
1. （1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是，位置关系是；
3. （2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
5. （3）当点D运动到什么位置时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $\text{[math]}$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.
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1. (2023·深圳模拟) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 $\text{[math]}$ 于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF．
1. （1）求证：四边形AEFD是矩形；
3. （2）连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．
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1. (2021八下·新抚期末) 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC ， AD⊥BF于点D ，点E为BC的中点，连接DE ，则DE的长是（）

A . 0.5 B . 0.75 C . 1 D . 2

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1. 如图，等边 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积等于．

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1. (2022·历下月考)
1. （1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；
3. （2）【类比探究】
  如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
5. （3）【拓展提升】
  如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．
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