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1. (2024八下·永修期中) 我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.例如，如图（1）， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （SAS）.
1. （1）熟悉模型：如（2），已知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）运用模型：如（3），P为等边 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以 $\text{[math]}$ 为边构造等边 $\text{[math]}$ ，这样就有两个等边三角形共顶点B ，然后连结 $\text{[math]}$ ，通过转化的思想求出了 $\text{[math]}$ 的度数；
5. （3）深化模型：如（4），在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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1. (2024·永修模拟) 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在y轴的正半轴上，边 $\text{[math]}$ 在第一象限内，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，若点B的对应点 $\text{[math]}$ 恰好落在坐标轴上，则点C的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标为.

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1. (2024·南昌模拟) 如图，已知过点A（－ $\text{[math]}$ ， 0）的直线y＝kx＋2与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象交于点B（ $\text{[math]}$ ， 3），连接OB ，将△AOB绕着点O顺时针旋转后，△AOB的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为．

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1. 如图，在△ABC中，AB<AC，将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F，则下列结论中错误的是（）

A . △AFE∽△DFC B . AD=AF C . DA平分∠BDE D . ∠CDF=∠BAD

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1. (2024八下·罗湖期中) 如图，△ABC中，∠ACB=80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得AEDC。当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是( )

A . 30° B . 40° C . 50° D . 60°

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1. (2024七下·湘桥期中) 如图，一副三角板中两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，保持三角板ABC不动，三角板DCE可绕点C旋转，则下列结论：①∠ACE=∠BCD；②∠BCE+∠ACD随着∠ACD的交化而变化；③当AB∥CE时，则∠ACD=60°或150°；④当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的个数是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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1. (2024九下·椒江模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，将对角线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转，当点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时（记为点 $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ 的值为

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1. (2024九下·金平模拟) 如图，抛物线与x轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与直线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．点C在x轴下方抛物线上， $\text{[math]}$ 绕原点逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，点D恰好落在抛物线的对称轴上．直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）求点C的坐标；
5. （3） $\text{[math]}$ 的长为_____________（直接写出你的结论）．
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1. (2024·东兴会考) 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点(不与端点重合)，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为
3. （2）如图2，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到线段 $\text{[math]}$ (点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ )，连接 $\text{[math]}$ .
  ①当点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
  ②设点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式.
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1. (2024·重庆市模拟) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 的速度向 $\text{[math]}$ 运动，动点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发以 $\text{[math]}$ 沿折线 $\text{[math]}$ 运动，当点 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 立即停止运动，运动时间记为 $\text{[math]}$ ．把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，运动过程中四边形 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式以及对应自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．
3. （2）在给定的平面直角坐标系中，画出 $\text{[math]}$ 的函数图象，并写出函数 $\text{[math]}$ 图象的一条性质： ▲ ．
5. （3）结合图象，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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