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1. (2024·巴中模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点D、E ，点F在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·桂林一模) 探究与推理
如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发，以每秒4个单位的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 运动.过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，连 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒；
图1 图2 备用图
1. （1）用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ .
3. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上；
5. （3）如图2，在点 $\text{[math]}$ 运动过程中，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 与矩形的边相切？请说明理由.
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1. (2024·桂林一模) 联想与思考
【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径有怎样的关系呢？
图1
【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：
1. （1）如图2，设锐角 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，同学们得出猜想： $\text{[math]}$ .
  在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与 $\text{[math]}$ 有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：
  连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  图2 图3
3. （2）请你根据上述启发，结合图3，证明： $\text{[math]}$ .
5. （3）【解决问题】
  结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径 $\text{[math]}$ 之间的关系（用含有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ），并说明理由.
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1. (2024·市中区模拟) 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AB=13，AC=12，则cosA=.

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1. (2024·绵阳模拟) 如图，已知：在△ABC中， $\text{[math]}$ ，点P是BC边上的动点. $\text{[math]}$ 交AB于D.以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①当 $\text{[math]}$ ，求PC的长.
  
  ②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长.
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为.
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1. (2024·金溪模拟) 如果三角形有一边上的高恰好等于这边长的 $\text{[math]}$ ，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C=90°，则tanA=．

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1. (2024·常州模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图像过点 $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 经过点A.
1. （1）求a和k的值
3. （2）过点B作 $\text{[math]}$ 轴，与双曲线 $\text{[math]}$ 交于点C，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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1. (2024·常州模拟) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是.

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1. (2024·金坛模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将线段BC绕点B按顺时针方向旋转到BD，连接CD．点F是边AB上一个动点，连接DF交BC于点E．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求CD的长；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，点E是BC的中点，求AC的长．
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1. (2204九下·温州月考) 如图1，已知四边形BCDF内接于 $\text{[math]}$ 是直径，AC是圆的切线交BD的延长线于 $\text{[math]}$ 点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交BF的延长线为 $\text{[math]}$ 点，设 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，请猜测 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由；
5. （3）如图2，连结BE，FE，EF经过圆心O，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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