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1. (2024九下·蚌山模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）．

A . 10 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·蚌山模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边延长线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为轴进行翻折，得到 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点 D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·东城模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，有以下三个结论：
① $\text{[math]}$ ；
②点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆上；
③ $\text{[math]}$ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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1. (2024九下·惠阳模拟) 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax²（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0， $\text{[math]}$ ）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ $\text{[math]}$ 上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= $\text{[math]}$ ，例如，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x² ，其焦点坐标为F（0， $\text{[math]}$ ），准线方程为l：y＝﹣ $\text{[math]}$ ．其中MF=MN，FH=2OH=1．
1. （1）【基础训练】
  请分别直接写出抛物线y＝2x²的焦点坐标和准线l的方程：　　，　　．
3. （2）【技能训练】
  如图2所示，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
5. （3）【能力提升】
  如图3所示，已知过抛物线y＝ax²（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
7. （4）【拓展升华】
  古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．后人把 $\text{[math]}$ 这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．
  如图4所示，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，请直接写出△HME的面积值．
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1. (2024九下·泰山模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于E，已知 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于F，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，其中正确的有（）个．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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1. (2024九下·德州模拟) 如图，点E在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交边 $\text{[math]}$ 于点M，交边 $\text{[math]}$ 的延长线于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·德州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作弧交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，再分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．以下结论不正确的是（　　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·英德模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴相交于点C，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一动点（不与A、C重合），连接 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点D，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）已知点E的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，请直接写出满足条件的所有直线的解析式．
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1. (2024九下·英德模拟) 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，遮光板在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，光屏在刻度尺 $\text{[math]}$ 处，量得像高 $\text{[math]}$ ，则蜡烛的长为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·石家庄模拟) 如图1，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），
图1 图2
1. （1）求对角线 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （2） ①当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
5. （3）如图2， $\text{[math]}$ ，与菱形的一边相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 始终在点 $\text{[math]}$ 的右侧），当 $\text{[math]}$ 经过菱形一边中点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．
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