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1. (2024·荆州模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径，过 $\text{[math]}$ 的延长线上的一点 $\text{[math]}$ 作半圆 $\text{[math]}$ 的切线，切点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过弦 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合）作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$
1. （1）请判断 $\text{[math]}$ 形状，并说明理由；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·宁波模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条直径， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
5. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·宁波模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离最大时，线段 $\text{[math]}$ 的长为( )

A . $\text{[math]}$
B . $\text{[math]}$
C . $\text{[math]}$
D . $\text{[math]}$

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1. (2024·宁波一模) 如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的两条互相垂直的弦，垂足为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）如图2，过点 $\text{[math]}$ 作. $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
5. （3）如图3，在 $\text{[math]}$ 的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心 $\text{[math]}$ ，茬 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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1. (2024九下·襄阳月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点E，C在 $\text{[math]}$ 上，点C是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 垂直于过C点的直线 $\text{[math]}$ ，垂足为D， $\text{[math]}$ 的延长线交直线 $\text{[math]}$ 于点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ①求 $\text{[math]}$ 的半径；②求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·自贡月考) 如图，BC是 $\text{[math]}$ 的直径，CE是 $\text{[math]}$ 的弦，过点E作 $\text{[math]}$ 的切线，交 CB的延长线于点G，过点B作 $\text{[math]}$ 于点F，交CE的延长线于点A.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径.
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1. (2024九下·隆昌月考) 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．
1. （1）求证：CF是⊙O的切线．
3. （2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．
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1. (2024九下·杭州月考) 如图
1. （1）问题提出
  如图①，在 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=10，BC=12，点O是 $\text{[math]}$ 的外接圆的圆心。求OB 的长，
3. （2）问题探究
  如图②，已知矩形ABCD，AB=4，AD=6，点E为AD的中.，以BC为直径作半圆O，点Р为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离
5. （3）问题解决
  某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形BCD和弦CB与其所对的劣场地组成的，果园主人现要从入口D到 $\text{[math]}$ 的一点Р修建一条笔直的小路 DP、已知AD∥BC，∠ADB=45 °. BD= 120 $\text{[math]}$ 米，BC=160米，过弦BC的中点E作 EF⊥BC交 $\text{[math]}$ 于点F，又测得EF=40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
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1. (2024九下·黄石开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别相切于点E，F， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径是1，求图中阴影部分的面积.
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1. (2024九下·娄底月考) 如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，弦CD交AB于点E．
1. （1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
3. （2）求证：BC²﹣CE²＝CE•DE；
5. （3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
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