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1. (2024·安源模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，（点D与不B ， C重合），以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）观察猜想
  如图①当点D在线段 $\text{[math]}$ 上时，① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为；
  ② $\text{[math]}$ 之间的数量关系为（将结论直接写在横线上）．
3. （2）数学思考
  如图②，当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明；
5. （3）拓展延伸
  如图③，当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接 $\text{[math]}$ ，若已知 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·深圳模拟)
1. （1）【问题提出】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为等腰直角三角形，并说明理由；
3. （2）【问题探究】
  如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）【问题解决】
  节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区 $\text{[math]}$ ，经测量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为了方便处理污水，该工厂在边 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点均不与端点重合），使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长交于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 处安装一个污水处理设备．根据规划要求， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 应相等，请问 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？并说明理由．
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1. (2024·深圳模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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1. (2024八下·南宁期中) 【问题提出】（1）为了探索代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，分别过点B、D作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．
①则 $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　.(用含x的代数式表示)．
②如图2，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于F，构造矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，此时A、C、E三点共线， $\text{[math]}$ 的值最小，则 $\text{[math]}$ 的最小值=　　．
【迁移应用】（2）如图3，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，点G在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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1. (2024七下·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，在平面直角坐标系中，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的面积为_______；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______．
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1. (2024九下·黑龙江模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点E，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H．有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

A . ①②④ B . ②③④ C . ①②③ D . ①②③④

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1. (2024七下·哈尔滨月考) 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024九下·西安模拟) （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值；
（2）某花卉培育公司有一块直角三角形鲜花培育基地，现在研究人员打算在这块鲜花培育基地上规划出一部分来培育新品种郁金香．如图2， $\text{[math]}$ 是这片鲜花培育基地的平面示意图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，为了更有效的利用这块鲜花培育基地，需要新品种郁金香培育基地 $\text{[math]}$ 的面积尽可能的小，请你求出新品种郁金香培育基地 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

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1. (2024七下·深圳期中) 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长 $\text{[math]}$ 到点E ，使 $\text{[math]}$ .请根据小明的方法思考：
1. （1）请证明 $\text{[math]}$
3. （2）请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$ ；
5. （3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
  如图2，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点.若A ， C ， D共线，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
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1. (2024九下·西安模拟) 如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ．

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