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1. (2024·路桥二模) 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．现以点M为原点， $\text{[math]}$ 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（ $\text{[math]}$ ）表示球与点M之间的水平距离，y（ $\text{[math]}$ ）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为 $\text{[math]}$ ；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球， $\text{[math]}$ 段抛物线可以看作是由 $\text{[math]}$ 段抛物线向左平移得到．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求b的值；
  ②求点A ， B之间的距离；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ 段抛物线的最大高度为 $\text{[math]}$ ，且它的形状与 $\text{[math]}$ 段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
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1. (2024九下·阜阳模拟) 如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式 $\text{[math]}$ ．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（）

A . 球运行的最大高度是2.43m B . 球不会过球网 C . 球会过球网且不会出界 D . 球会过球网且会出界

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1. (2024九下·卧龙模拟) 在坡度为 $\text{[math]}$ 的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点 $\text{[math]}$ 在斜坡上， $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 向右发射出的小球沿抛物线 $\text{[math]}$ 运动，解决下列问题．
1. （1）点 $\text{[math]}$ 的坐标是__________；
3. （2） ①求 $\text{[math]}$ 所满足的数量关系；
  ②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式．
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1. (2024九下·永寿模拟) 运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与水平距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）近似地满足函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）．该函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，下列说法错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 该铅球飞行到最高点时铅球离 $\text{[math]}$ 轴的水平距离是 $\text{[math]}$ C . 铅球在运动过程中距离地面的最大高度是 $\text{[math]}$ D . 此次训练，该铅球落地点离 $\text{[math]}$ 轴的距离小于 $\text{[math]}$

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1. (2024九下·石家庄模拟) 【发现问题】
小明和小强做弹球游戏，如图 $\text{[math]}$ ，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为 $\text{[math]}$ 的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】
小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】
小强以斜坡底端 $\text{[math]}$ 为坐标原点，地面水平线为 $\text{[math]}$ 轴，取单位长度为 $\text{[math]}$ ，建立如图 $\text{[math]}$ 所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，第一次弹起的运行路线最高点坐标为 $\text{[math]}$ ，第二次弹起的最大高度为 $\text{[math]}$ ，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】
1. （1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
3. （2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；
5. （3）小强将木板立在距斜坡底端 $\text{[math]}$ 多远的范围内，才能确保自己获胜？
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1. (2024九下·郑州模拟) 为准备 $\text{[math]}$ 年中考体育加试，小明和小亮周日下午去训练场进行实心球的练习，实心球的飞行路线可近似看作二次函数图象的一部分，如图所示是小明同学掷的实心球运动的路线，如图建立平面直角坐标系，小明的出手点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点为实心球飞行轨迹的最高点.
1. （1）求小明投掷实心球的飞行路线的解析式；
3. （2）请计算小明的投掷距离；
5. （3）小亮的出手点为 $\text{[math]}$ ，且飞行路线的最高点仍为 $\text{[math]}$ 点，问小明和小亮谁的投掷距离远，远多少？（精确到 $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·新蔡模拟) 王林对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象如图所示(P 为抛物线顶点)，由此可知此次投掷的成绩是m．

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1. (2024九下·宝坻模拟) 如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在 $\text{[math]}$ 时落地，小球的飞行高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与飞行时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）之间具有函数关系 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）．有下列结论：
① $\text{[math]}$ 值为 $\text{[math]}$ ；
②小球的飞行高度最高可达到 $\text{[math]}$ ；
③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到 $\text{[math]}$ ．
其中，正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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1. (2024九下·濮阳模拟) 濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．
如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台 $\text{[math]}$ 上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网 $\text{[math]}$ ，以保护表演的演员安全．建立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当抛物线过点B，且与y轴交于点 $\text{[math]}$ 时，求出抛物线的表达式；
3. （2）在（1）的条件下，若点N的坐标为 $\text{[math]}$ ，为使演员在演出时不受伤害，求保护网 $\text{[math]}$ （线段 $\text{[math]}$ ）的长度至少为多少米；
5. （3）设该抛物线的关系式为 $\text{[math]}$ ，抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台 $\text{[math]}$ 上，请直接写出a的取值范围．
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1. (2024九下·深圳模拟) 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $\text{[math]}$ （单位：m）与飞行时间 $\text{[math]}$ （单位：s）之间具有函数关系： $\text{[math]}$ ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 $\text{[math]}$ s．

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