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1. (2024九下·衢州模拟) 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”，图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．连接图1中相应的顶点得到图2，记阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，空白部分的面积为 $\text{[math]}$ ，若大正方形的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则小正方形的边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·浙江模拟) 某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：

【提出驱动性问题】如何设计纸盒？

【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．

请你尝试帮助他们解决相关问题．

素材1	利用一边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2	如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．

【尝试解决问题】

任务1．初步探究：折一个底面积为 $\text{[math]}$ 无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？

任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．

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1. (2024八下·京山期中) “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A . 9 B . 6 C . 4 D . 3

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1. (2024七下·湖北期中) 如图，有一张长宽比为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求长方形纸片的长和宽；
3. （2）小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为 $\text{[math]}$ 的新长方形，使其面积为 $\text{[math]}$ ，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由.
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1. (2024八下·惠阳期中) 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M ．已知：AB=1，BC=2，则BM的长等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·临平月考) 如图，一块长5米、宽4米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 $\text{[math]}$ ，则配色条纹的宽度是米．

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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，某市计划利用现有的一段“ $\text{[math]}$ ”字形的古城墙粗线 $\text{[math]}$ 表示古城墙，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米和总长为 $\text{[math]}$ 米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 $\text{[math]}$ (细线表示仿古城墙，展览馆中间 $\text{[math]}$ 也是用仿古城墙隔开)．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 可能在线段 $\text{[math]}$ 上，所围成的展览馆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 平方米，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ 为多少时，展览馆 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积为多少平方米？
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1. (2024九下·桂林模拟) 综合与实践
【材料阅读】我们知道， $\text{[math]}$ ，展开移项得 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，取到等号；我们可以利用它解决形如“ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为常数且 $\text{[math]}$ ）的最小值”问题．
例如：求式子 $\text{[math]}$ 的最小值．
解： $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时，式子有最小值，最小值为4
【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为 $\text{[math]}$ ）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积 $\text{[math]}$ 和篱笆总长 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长度 $\text{[math]}$ 之间的关系进行了研究分析．
1. （1）当该矩形花园的面积 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，篱笆总长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）当篱笆总长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，
  ①写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 有最大值？最大值是多少？
5. （3）当面积 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为 $\text{[math]}$ ，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点 $\text{[math]}$ 为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围为多少时， $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小？（直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围）
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1. (2024八下·温州经济技术开发月考) 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为 $\text{[math]}$ ．设小道的宽为 $\text{[math]}$ ，根据题意可列方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·温州经济技术开发月考) 如图，将正方形沿图中虚线剪成三块图形（图中的 x，y，d 是相应线段的长度），用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为 $\text{[math]}$ 的长方形，若 x 的值为 6，则 y 的值为，此时 d的值为．

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