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1. (2024八下·镇赉县月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024八下·镇赉县月考) 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 所对的边为 $\text{[math]}$ ，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的 $\text{[math]}$ 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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1. (2024·耒阳模拟) 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D，E分别在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）观察猜想
  请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系；
3. （2）类比探究
  将图① 中 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
5. （3）解决问题
  若 $\text{[math]}$ ，将图①中的 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值．
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1. (2024·耒阳模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 三点．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）若点D为第二象限内抛物线上一动点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
5. （3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使 $\text{[math]}$ 为直角三角形的点P的坐标．
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1. (2024·津市市模拟) 将抛物线 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 轴上方的部分沿 $\text{[math]}$ 轴翻折到 $\text{[math]}$ 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 个交点，则m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·河北模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 及反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则k的取值可能是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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1. (2024·威县模拟) 在平面直角坐标系中，线段 $\text{[math]}$ 的端点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 所在直线的表达式．
3. （2）如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度运动到点 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
  ①连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的周长最短时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②当直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 有交点时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·威县模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\text{[math]}$ 的对称中心为坐标原点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的函数 $\text{[math]}$ 的图象记为 $\text{[math]}$ ．
⑴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最低点坐标为．
⑵当 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 的边恰好有两个公共点时， $\text{[math]}$ ．

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1. (2024·威县模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一个动点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
①当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时， $\text{[math]}$ ；
②当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的三等分点时， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
以下选项正确的为（）

A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ①②③

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1. (2024七下·威县月考) 如图1、图2，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 被射线 $\text{[math]}$ 所截，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的定点，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）．
  ①依题意，在图2中补全图形；
  ②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明；
5. （3）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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