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1. (2024七下·保定期中) 规定两数a、b之间的一种运算，记作（a ， b）；如果 $\text{[math]}$ ，那么（a ， b）＝c ．
例如：因为 $\text{[math]}$ ，所以（2，8）＝3
1. （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝，（－2，－32）＝．
3. （2）若（4，5）＝a ，（4，6）＝b ，（4，30）＝c ，试探究a ， b ， c之间存在的数量关系；
5. （3）若（m ， 8）＋（m ， 3）＝（m ， t），求t的值．
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1. (2024·重庆市模拟) 对任意一个四位数m ，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数 $\text{[math]}$ ，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．若s ， t都是“同和数”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， y ， e ， $\text{[math]}$ ），且x ， y ， e ， f都是正整数，规定： $\text{[math]}$ ，用含“x ， f”的代数式表示 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 能被20整除时，k的所有取值之积为．

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1. (2024·沙坪坝模拟) 如果一个四位自然数 $\text{[math]}$ 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足 $\text{[math]}$ ，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为 $\text{[math]}$ ，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为 $\text{[math]}$ ，所以2514不是“和方数”．若 $\text{[math]}$ 是“和方数”，则这个数是；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N ，若 $\text{[math]}$ 能被33整除，则满足条件的M的最大值是．

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1. (2024七下·鄞州期中) 我们规定：对于数对 $\text{[math]}$ ，如果满足 $\text{[math]}$ ，那么就称数对 $\text{[math]}$ 是“和积等数对”：如果满足 $\text{[math]}$ ，那么就称数对 $\text{[math]}$ 是“差积等数对”，例如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
所以数对 $\text{[math]}$ 为“和积等数对”，数对 $\text{[math]}$ 为“差积等数对”．
1. （1）下列数对中，“和积等数对”的是；“差积等数对”的是(填序号)．
  ① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．
3. （2）若数对 $\text{[math]}$ 是“差积等数对”，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）是否存在非零有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使数对 $\text{[math]}$ 是“和积等数对”，同时数对 $\text{[math]}$ 也是“差积等数对”，若存在，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由．
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1. (2024八下·恩施期中) 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 交于点O．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024七下·江岸期中) 在平面直角坐标系xOy中，对于不同的两点M ， N ，若点M到x轴，y轴的距离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M ， N互为“最距等点”．例如：点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互为“最距等点”；点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互为“最距等点”．已知点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 互为“最距等点”，则n的值为．

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1. (2024七下·合肥期中) 定义一种新运算“ $\text{[math]}$ ”：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若x是一个负数，且满足 $\text{[math]}$ ，求x的取值范围．
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1. (2024七下·潜山期中) 在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据 $\text{[math]}$ ，知道a ， n可以求b的值．如果知道a ， b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
3. （2）计算： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024七下·潜山期中) 阅读下面的文字，解答问题：
【阅读材料】现规定：分别用 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分是 $\text{[math]}$ ；实数 $\text{[math]}$ 的整数部分是 $\text{[math]}$ ，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的小数部分，所以 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
3. （2）如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的立方根．
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1. (2024七下·浙江期中) 对于任意有理数a ， b ， c ， d ，我们规定符号 $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的值，其中 $\text{[math]}$ ．
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