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1. (2024八下·江城期中) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 恰好落与 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024八下·江城期中)
1. （1）问题情境：
  数学活动课上，小明向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，作射线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
3. （2）解决问题：
  小亮受此问题启发，将矩形 $\text{[math]}$ 变为平行四边形，其中 $\text{[math]}$ 为锐角，如图（2）， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，请你证明小亮的结论；
5. （3）拓展探究：
  小宇在小亮结论的基础上进行了探究，并提出了一个新问题： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系？请你回答小宇提出的这个问题，并证明你的结论．
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1. (2024九下·南宁模拟) 九年级某班数学学习小组开展了测量南宁二中八大景之一“仰止亭”的高度实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在“仰止亭”底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了仰止亭顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

测量“仰止亭”的高度
工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量方案	线段 $\text{[math]}$ 表示仰止亭的高度，测量角度的仪器的高度 $\text{[math]}$ m，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在同一条水平直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离可以直接测得，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都在同一竖直平面内，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上（其中： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），测量示意图如图所示：
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值
	$\text{[math]}$ 的度数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
	$\text{[math]}$ 的度数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

任务一： $\text{[math]}$ ____________ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ____________ $\text{[math]}$

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该小组求出学校仰止亭 $\text{[math]}$ 的高度．（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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1. (2024·义乌模拟) 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形 $\text{[math]}$ 就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形 $\text{[math]}$ 面积的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积 C . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积 D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的积

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1. (2024八下·丰润期中) 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D ， C分别落在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过B点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则AE等于.

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1. (2024八下·重庆市期中) 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（）

A . AC⊥BD B . AC=BD C . AB=BC D . AB=AC

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1. (2024·从江模拟) 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A . 27° B . 53° C . 57° D . 63°

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1. (2024八下·香洲期中) 正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）

A . 先变大后变小 B . 先变小后变大 C . 一直变大 D . 保持不变

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1. (2024·冠县模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上，点F是AE的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·阳春模拟) 为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地 $\text{[math]}$ ，培育绿植销售，空地南北边界 $\text{[math]}$ ，西边界 $\text{[math]}$ ，经测量得到如下数据，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的北偏东 $\text{[math]}$ 方向，在点 $\text{[math]}$ 的北偏东 $\text{[math]}$ 方向， $\text{[math]}$ 米，求空地南北边界 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的长（结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

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