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1. (2024·顺城模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是边 $\text{[math]}$ 上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ， D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，按下列步骤作图：①以A为圆心，适当长为半径画弧交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点M ， N；②分别以M ， N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧的交点为G；③作射线 $\text{[math]}$ ．若射线 $\text{[math]}$ 经过点D ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·佛山模拟) 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”．度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为1的正方形 $\text{[math]}$ 的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . 9 B . 6 C . 4 D . 3

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1. (2024八下·海珠期中) 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·宜州期中) 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN ，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（）
图① 图②

A . 3 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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1. (2024·东莞模拟) 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点，连接AE ．
1. （1）如图①，过点B作BF⊥AE于点G ，交直线CD于点F ．以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰Rt△CFH ，连接AH ， EH ．求证：△AEH是等腰直角三角形；
3. （2）如图②，在（1）的条件下，记AH、EH分别交CD于点P、Q ，连接PE ．
  ①试探究PE、BE、DP之间的数量关系；
  ②设BE＝m ， △PQE中边PE上的高为h ，请用含m的代数式表示h ．并求h的最大值．
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1. (2024·东莞模拟) 独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，AB＝BC ，以△ABC的边AB为直径作⊙O ，交AC于点P ，且PD⊥BC ，垂足为点D ．
1. （1）求证：PD是⊙O的切线；
3. （2）若tanC＝ $\text{[math]}$ ， BD＝2，求⊙O的半径．
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1. (2024·金平模拟) 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .点M在 $\text{[math]}$ 上，点N在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。
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1. (2024·普宁模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆O ，从 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线开始绕点D逆时针旋转，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 有交点时，设交点分别为点P和点Q ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
3. （2）当点Q在 $\text{[math]}$ 上时，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出y与x的关系式；
5. （3）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，求半圆O与 $\text{[math]}$ 所围成的弓形的面积.
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1. (2024·普宁模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G ， H ，且 $\text{[math]}$ .有下列四个结论：① $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ；②若点P是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .其中正确的有.

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1. (2024·普宁模拟) 综合与探究：
如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线顶点为点M.
1. （1）求抛物线解析式及点M的坐标；
3. （2）平移直线 $\text{[math]}$ 得直线 $\text{[math]}$ .
  ①如图2，若直线 $\text{[math]}$ 过点M ，交x轴于点D ，在x轴上取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.
  ②把抛物线 $\text{[math]}$ 在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3中的“W”形曲线）.当直线 $\text{[math]}$ 与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围.
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