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1. (2024八下·慈溪期中) 已知：如图，在 $\text{[math]}$ ABCD中，点E为边AC上，点F在边AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．
1. （1）求证：O是BD的中点．
3. （2）若EF⊥BD， $\text{[math]}$ ABCD的周长为24，连结BF，则△ABF的周长为
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1. (2024·柳州三模)
图1 图2 图3 图4
1. （1） 问题提出：如图1，在正方形ABCD中，E ， F分别为边DC，BC上的点， $\text{[math]}$ ，连接EF ，试说明线段DE ， BF和EF之间的数量关系
  小明是这样思考的：将 $\text{[math]}$ 绕点A按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ （如图2），此时GF即是 $\text{[math]}$ ．直接写出线段DE ， BF和EF之间的数量关系：．
3. （2） 问题探究：如图3，在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ， E是边CD上的一点．若 $\text{[math]}$ ，求BE的长．
5. （3） 问题解决：某小区想在一块不规则的空地上修建一个花园，根据设计要求，花园由一个三角形和一个正方形组成，如图4所示．已知 $\text{[math]}$ ，以AB为边作正方形ADEB ，现要在花园里修建一条小路CD ，为了满足观赏需求，小路CD要尽可能长，求出此时 $\text{[math]}$ 的度数及小路CD的最大值．
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1. (2024·柳北模拟) 【探究与证明】如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【问题解决】如图①，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
  小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．
  证明：过点D作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，过点B作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，如图①所示：则 $\text{[math]}$
  ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填写位置关系）
  ∴ $\text{[math]}$ ；
  ∴ $\text{[math]}$ ；
  ∵ $\text{[math]}$ ；
  $\text{[math]}$ ；
  ∴ $\text{[math]}$ ．
3. （2）【探索推广】如图②，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5. （3）【拓展应用】如图③，在 $\text{[math]}$ 上取一点E ，使 $\text{[math]}$ ．过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，点H为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 值．
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1. (2024·湖北一模) 如图，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限内交于点A ，与y轴交于点C ，与x轴交于点B ， C为AB的中点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求x的取值范围．
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1. (2024·湖北一模) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以AB为直径的 $\text{[math]}$ 交AC于点F ， D为BC的中点，直线DF与直线AB交于点E ．
1. （1）求证：DF为 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求EF的长．
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1. (2024·湖北一模) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E ， F ， D分别是AC ， AB ， BC上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数（图1）；
3. （2）若点G为BC的中点（图2），其它条件不变，请探究FG与EG是否垂直；
5. （3）将（1）中 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转一定的角度得到 $\text{[math]}$ ，如图3所示，G为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 吗？请说明理由．
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1. (2024·湖北一模) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， C两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，经过点C的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为M ．
1. （1）直接写出b ， c的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求k的值；
5. （3）若D为BC上的点，F为AC上的点， $\text{[math]}$ ，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E ，连接DE ， BF ，如图2，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求点F的坐标．
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1. (2024·广水模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，
  ①如图1，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的数量关系是， $\text{[math]}$ °；
  ②如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）如图3，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·潜江模拟) 如图，B是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ ．

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1. (2024·潜江模拟) 阅读以下作图步骤：
①在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；②分别以 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点 $\text{[math]}$ ；③作射线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$

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