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1. (2024八下·重庆市期中) 如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF⊥AB交对角线BD于点F.连接EC交BD于点G.取DF的中点H，并连接AH.若AH= $\text{[math]}$ ，EG= $\text{[math]}$ ，则四边形AEFH的面积为.

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1. (2024八下·新宁期中) 如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为（）

A . 45° B . 60° C . 67.5° D . 77.5°

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1. (2024八下·新宁期中) 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S_△EGC=S_△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°.

其中正确的个数是（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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1. (2024·常德模拟) 如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则图中阴影部分的面积为．

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1. (2024·常德模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024八下·南海期中) 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。
已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$
1. （1）【初步探究】小鸣将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由。
3. （2）【深入探究】若 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，请探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由。
5. （3）【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）
7. （4）【拓展探究】如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）
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1. (2024·罗湖模拟) 【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
1. （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
3. （2）【初步运用】
  如图2，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点D为AC的中点，连接BD，过点A作 $\text{[math]}$ 于点点E，交BC于点F，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）【灵活运用】
  如图3，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边AB，AD上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为G，则 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·惠城模拟) 如图所示，在菱形ABCD中，过点C分别作边AB ， AD上的高CE ， CF ，求证： $\text{[math]}$ ．

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1. (2024八下·中山期中) 如图，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，对角线AC、BD交于点O ，且 $\text{[math]}$ ．求证：四边形ABCD是平行四边形．

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1. (2024八下·中山期中) 在 $\text{[math]}$ 中，M是斜边AB的中点，D为直线AB外一点， $\text{[math]}$ ，连接AD ， BD ．
1. （1）如图1，若AD平分 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AD的长；
5. （3）如图3，已知点D和边AC上的点E满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接CD ，求证： $\text{[math]}$ ．
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