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1. (2024·湖南模拟) 如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，且满足 $\text{[math]}$ ．求证：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
3. （2） $\text{[math]}$ ．
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1. (2024八下·江城期中)
1. （1）问题情境：
  数学活动课上，小明向同学们提出了这样一个问题：如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，作射线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
3. （2）解决问题：
  小亮受此问题启发，将矩形 $\text{[math]}$ 变为平行四边形，其中 $\text{[math]}$ 为锐角，如图（2）， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，请你证明小亮的结论；
5. （3）拓展探究：
  小宇在小亮结论的基础上进行了探究，并提出了一个新问题： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有怎样的数量关系？请你回答小宇提出的这个问题，并证明你的结论．
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1. (2024八下·江城期中) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 沿着直线 $\text{[math]}$ 对折，点 $\text{[math]}$ 恰好落与 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2023八下·宁波期中) 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
1. （1）问题发现：如图1，在等边ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边△APQ，连接CQ，BP与CQ的数量关系是；
3. （2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
5. （3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为5，CQ＝ $\text{[math]}$ ，求正方形ADBC的边长．
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1. (2024九下·南湖模拟) 小南用一把可调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺丝帽（如图1），其横截面示意图如图2所示．已知活动扳手的钳口 $\text{[math]}$ ，正六边形螺丝帽的两个顶点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ mm， $\text{[math]}$ ．
1. （1）连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （2）在图2的基础上，调节活动扳手钳口大小，使得 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 重合（如图3），请问 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离减少了多少？（结果精确到1mm，参考数据： $\text{[math]}$ ）
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1. (2024九下·广西壮族自治区模拟) 抛物线C₁：y₁＝x²﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；当t＝0时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；
②随t值的变化，抛物线C₁是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；
（2）若将抛物线C₁经过适当平移后，得到抛物线C₂：y₂＝（x﹣t）²+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C₂的解析式；
（3）设抛物线C₁的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x²﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根　　．

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1. (2024九下·南湖模拟) 如图，等边 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·广西壮族自治区模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，下列结论中不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·义乌模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ．现以 $\text{[math]}$ 为一边向外侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，分别取 $\text{[math]}$ 的中点记为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·丛台期中) 已知一个三角形工件尺寸（单位： $\text{[math]}$ ）如图所示，则高h是 $\text{[math]}$ ，它的面积是 $\text{[math]}$ ．

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