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1. (2024八下·柳州期中) 如图所示，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的交点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，下列结论中，正确的结论是（）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③四边形 $\text{[math]}$ 的面积总等于 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．

A . ①②③④ B . ①②④⑤ C . ①②③⑤ D . ①②③④⑤

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1. (2024九下·北仑模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的中点，以 $\text{[math]}$ 为顶点作一个 $\text{[math]}$ 的角交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连结 $\text{[math]}$ ，则知道下列哪个条件就可以计算 $\text{[math]}$ 的周长（）

A . $\text{[math]}$ 的周长 B . $\text{[math]}$ 的周长 C . $\text{[math]}$ 的周长 D . $\text{[math]}$ 的周长

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1. (2023八下·期中) 如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，过E作EF $\text{[math]}$ CD交对角线AC于点F ，若要求△FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）

A . △ECD B . △EBF C . △EBC D . △EFC

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1. (2023八下·期中) 如图，在▱ $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在对角线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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1. (2023·安徽模拟) 已知：正方形 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 边中点，F为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ 交于点P，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若F为 $\text{[math]}$ 边中点，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，若 $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·钟山模拟) 阅读与思考

下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务．

截长补短法

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系．所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…．

如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC ， BD ． BC是⊙O的直径，AB＝

AC ．请说明线段AD ， BD ， CD之间的数量关系．

下面是该问题的部分解答过程：

解： $\text{[math]}$ AD+CD＝BD ．理由如下：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°．

∵AB＝AC ，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°．

如图2，过点A作AM⊥AD交BD于点M ，

…．

任务：

（1）补全解答过程；
（2）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC ， BD ． BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD ， BD ， CD之间的数量关系式是．

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1. (2024八下·昭平期中) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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1. (2024八下·余杭期中) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点E为AD中点，BA ， CE延长线交于点F ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）若 $\text{[math]}$ 时，记AB与CD之间的距离为 $\text{[math]}$ ， AD与BC之间的距离为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）如图2，连结AC ， BD ，在（2）的条件下，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024八上·港南期末) 我国建造的港珠澳大桥全长 $\text{[math]}$ 公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（）

A . 三角形的内角和为 $\text{[math]}$ B . 三角形的稳定性 C . 两点之间线段最短 D . 垂线段最短

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1. (2024八下·海珠期中) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 外取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；②点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的序号是．

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