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1. (2024·珠海模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）实践与操作：用尺规作图法作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，交 $\text{[math]}$ 于点D ，交 $\text{[math]}$ 于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
3. （2）应用与计算：在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·石家庄模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，由作图痕迹可得GF的长为（）

A . 4 B . 2 C . 6 D . 3

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1. (2024九下·张家口模拟) 如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是（）

A . 只有甲可以 B . 只有乙可以 C . 甲、乙都不可以 D . 甲、乙都可以

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1. (2024九下·清原模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；再分别以点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则此时 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·市中区模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． ①分别以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，作直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；②以点 $\text{[math]}$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，再分别以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ ，交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．根据以上信息推断，下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·竞秀模拟) 如图，有甲、乙两种作图方式，能够根据圆规作图的痕迹，再利用直尺成功得到一个等腰三角形的是（）

A . 只有甲可以 B . 只有乙可以 C . 甲、乙都不可以 D . 甲、乙都可以

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1. (2024九下·新邵模拟) 阅读作图过程，并解答问题：
①以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；
②分别以点 $\text{[math]}$ 为圆心，以大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 内交于点 $\text{[math]}$ ；
③作射线 $\text{[math]}$ ．
如图，已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长取最小值时， $\text{[math]}$ 的面积为．

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1. (2024·连云港) 如图，AB与CD相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形DMCN，使得点 $\text{[math]}$ 在AC上，点 $\text{[math]}$ 在BD上.（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
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1. (2024·重庆) 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
1. （1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB ， CD于点E ， F ，连接AF ， CE ．（不写作法，保留作图痕迹）
3. （2）已知：矩形ABCD ，点E ， F分别在AB ， CD上，EF经过对角线AC的中点O ，且EF⊥AC ．求证：四边形AECF是菱形．
  证明：∵四边形ABCD是矩形，
  ∴AB∥CD ．
  ∴①，∠OCF＝∠OAE ．
  ∵点O是AC的中点，
  ∴②．
  ∴△CFO≌△AEO（AAS）．
  ∴③．
  又∵OA＝OC ，
  ∴四边形AECF是平行四边形．
  ∵EF⊥AC ，
  ∴四边形AECF是菱形．
  进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
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1. (2024·重庆) 在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
1. （1）如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点.用尺规过点O作 $\text{[math]}$ 的垂线，分别交AB ， CD于点E ， F ，连接AF ， CE（不写作法，保留作图痕迹）.
3. （2）已知：矩形 $\text{[math]}$ ，点E ， F分别在AB ， CD上，E ， F经过对角线 $\text{[math]}$ 的中点O ，且 $\text{[math]}$ .求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  证明： $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ 点O是 $\text{[math]}$ 的中点，
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  又 $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形.
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形.
  进一步思考，如果四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_.
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