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1. (2024八下·南海期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形．

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1. (2024八下·南海期中) 综合与实践探究
【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过、旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系。因此他和同学一起对这个问题进行了数学探究。
已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$
1. （1）【初步探究】小鸣将 $\text{[math]}$ 绕点A在平面内自由旋转，连接BD、CE后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图1，请探究线段BD、CE的数量关系，并说明理由。
3. （2）【深入探究】若 $\text{[math]}$ ，在旋转过程中，当点D、点E和BC的中点O三点共线时，如图2，请探究线段BD、DO和OE的数量关系，并说明理由。
5. （3）【应用探究】如图2，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）
7. （4）【拓展探究】如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）
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1. (2024八下·南海期中) 如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（）

A . 三角形三条中线的交点 B . 三角形三条高所在直线的交点 C . 三角形三个内角的角平分线的交点 D . 三角形三条边的垂直平分线的交点

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1. (2024八下·南海期中) 阅读理解
阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式 $\text{[math]}$ 表示成部分分式．解：设 $\text{[math]}$ ，将等式右边通分，得 $\text{[math]}$ ，依据题意，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：
1. （1） $\text{[math]}$ （A ， B为常数），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
3. （2）一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 $\text{[math]}$ ，第2次倒出的水量是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，第3次倒出的水量是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，第4次倒出的水量是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ⋯第n次倒出的水量是 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ …按照这种倒水的方法，请说明这，1L的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；
5. （3）按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 $\text{[math]}$ ，第2次倒出的水量是 $\text{[math]}$ ，第3次倒出的水量是 $\text{[math]}$ ，第4次倒出的水量是 $\text{[math]}$ ，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的 $\text{[math]}$ ？试说明理由．
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1. (2024八下·南海期中) 如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中 $\text{[math]}$ ，若剪刀张开的角为40°，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . 40° B . 50° C . 60° D . 70°

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1. (2024八下·南海期中) 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A . B . C . D .

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1. (2024八下·南海期中) 若关于x的分式方程 $\text{[math]}$ 有增根，则a的值为．

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1. (2024八下·南海期中) 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍．
1. （1）求每支钢笔和每支笔记本的价格：
3. （2）一模后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给一模中表现突出和进步的同学，总费用不超过200元．请问至少要买多少支钢笔？
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1. (2024·苏州模拟) 若一组数据1，3，x，5，8的众数为8，则这组数据的中位数为 .

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1. (2024·苏州模拟) 某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（）

A . 众数是8 B . 中位数是8 C . 平均数是8 D . 方差是8

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