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1. (2024高三下·江西模拟) 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a ， b的值；
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明：对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·沧州月考) 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有 $\text{[math]}$ 个或 $\text{[math]}$ 个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ ，也必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ .（注：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数， $\text{[math]}$ 表示不小于 $\text{[math]}$ 的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：
1. （1） ①举例说明形式1；
  ②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.
3. （2）证明形式2；
5. （3）圆周上有2024个点，在其上任意标上 $\text{[math]}$ （每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
  ①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
  ②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
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1. (2024高三下·河北月考) 设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系 $\text{[math]}$ ，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作 $\text{[math]}$ .若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作 $\text{[math]}$ .
例如：对于集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，存在一一对应关系 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ .
1. （1）已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否成立?请说明理由；
3. （2）证明：① $\text{[math]}$ ；
  ② $\text{[math]}$ .
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1. (2024·九江二模) 定义两个 $\text{[math]}$ 维向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的第k个分量（ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）.如三维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 的第2分量 $\text{[math]}$ .若由 $\text{[math]}$ 维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ （T为常数）且 $\text{[math]}$ .则称A为T的完美n维向量集.
1. （1）求2的完美3维向量集；
3. （2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
5. （3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和 $\text{[math]}$ .
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1. (2024高二下·长沙开学考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的取值范围．
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1. (2024高一下·湖北月考) 设 $\text{[math]}$ ，我们常用 $\text{[math]}$ 来表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数.如： $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）解方程： $\text{[math]}$ ；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，若对 $\text{[math]}$ ，使不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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1. (2024高二下·深圳开学考) 已知数表 $\text{[math]}$ 中的项 $\text{[math]}$ 互不相同，且满足下列条件：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ．
则称这样的数表 $\text{[math]}$ 具有性质P ．
1. （1）若数表 $\text{[math]}$ 具有性质P ，且 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数表 $\text{[math]}$ ，并求出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）对于具有性质P的数表 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，求证：存在正整数 $\text{[math]}$ ．
  使得 $\text{[math]}$ ；
5. （3）对于具有性质Р的数表 $\text{[math]}$ ，当n为偶数时，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024高三上·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有三个不相等的实数根，分别记为 $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②证明 $\text{[math]}$ .
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1. (2024高三上·平果月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为两个不相等的正数，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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1. (2024高二上·温州期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论f（x）的单调性；
3. （2）求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
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