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1. (2024·茂名模拟) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 是递减数列，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·北京) 已知 $\text{[math]}$ ， {a_n}，{b_n} 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.
① {a_n}，{b_n} 均为等差数列，则M中最多一个元素；
② {a_n}，{b_n} 均为等比数列，则M中最多三个元素；
③ {a_n} 为等差数列， {b_n} 为等比数列，则M中最多三个元素；
④ {a_n}单调递增， {b_n} 单调递减，则M中最多一个元素

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1. (2024高二下·浙江期中) 对于正整数m，n ，存在唯一的自然数a，b ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，我们记 $\text{[math]}$ ．对任意正整数 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 的生成数列为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的前3项．
5. （3）存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ 成立．考虑 $\text{[math]}$ 的值：
  当 $\text{[math]}$ 时，
  定义数列 $\text{[math]}$ 的变换数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$
  当 $\text{[math]}$ 时，
  定义数列 $\text{[math]}$ 的变换数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$
  若数列 $\text{[math]}$ 和数列 $\text{[math]}$ 相同，则定义函数 $\text{[math]}$ ，其中函数 $\text{[math]}$ 的定义域为正整数集．
  （ⅰ）求证：函数 $\text{[math]}$ 是增函数．
  （ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·北京) 设集合M={（i，j，s，t）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，s∈{5，6}，t∈{7，8}，2|（i+j+s+t）}．对于给定有穷数列A：{a_n}（1≤n≤8），及序列Ω：ω₁ ， ω₂ ， …，ω_s ， ω_k=（i_k ， j_k ， s_k ， t_k）∈M，定义变换T：将数列A的第i₁ ， j₁ ， s₁ ， t₁项加1，得到数列T₁（A）；将数列T₁（A）的第i₂ ， j₂ ， s₂ ， t₂项加1，得到数列T₂T₁（A）…；重复上述操作，得到数列T_s⋯T₂T₁（A），记为Ω（A）．
1. （1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；
3. （2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a₁+2，a₂+6，a₃+4，a₄+2，a₅+8，a₆+2，a+4，a₈+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；
5. （3）若数列A的各项均为正整数，且a₁+a₃+a₅+a₇为偶数，证明：“存在序列Ω，使得Ω（A）为常数列”的充要条件为“a₁+a₂=a₃+a₄=a₅+a₆=a₇+a₈”．
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1. (2024·重启模拟) 记正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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1. (2024高三下·大理模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法错误的是（）

A . 存在 $\text{[math]}$ ，使得数列 $\text{[math]}$ 为等差数列 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 是等比数列

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1. (2024高三下·大理模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，则下列说法正确的有（）

A . n为偶数时， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最大值为20

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1. (2024高二下·杭州月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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1. (2024高二下·广西月考) 某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为 $\text{[math]}$ ，从第二题开始，若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为 $\text{[math]}$ ；若前一题答对，则此题答对的概率为 $\text{[math]}$ .记甲同学回答第 $\text{[math]}$ 题时答错的概率为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·东阳模拟) 若正实数数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是一个对数凸数列；若实数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是一个凸数列。已知 $\text{[math]}$ 是一个对数凸数列， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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