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1. (2024九下·汇川模拟) 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D直线 $\text{[math]}$ 右侧的一动点．作点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）【动手操作】
  当 $\text{[math]}$ 时，根据题意，在图①上画出图形，
  在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角，
  第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________；
3. （2）【问题探究】
  根据（1）所画图形，猜想 $\text{[math]}$ 的大小以及 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3）【拓展延伸】
  如图②，在等腰三角形中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其余条件不变，如图②，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请继续研究并求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九下·钦州模拟) 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2023·安徽模拟) 随着“二胎政策”出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2021年学生数比2020年增长了8.5%，2022年新学期开学统计，该校学生数又比2021年增长了9.6%，设2021、2022这两年该校学生数平均增长率为x，则x满足的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·昭平期中) “三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”.近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多。某壮族服饰支卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售毁为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同.
1. （1）求该款壮族服饰销售量的年平均增长率；
3. （2）若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元?
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1. (2024八下·昭平期中) 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路，在剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 $\text{[math]}$ .若设道路的宽为 $\text{[math]}$ ，则所列方程是.

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1. (2024八下·义乌月考) 在《代数学》中记载了求方程x²+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x²的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x²+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（）

A . 2 $\text{[math]}$ B . 2 C . 3 D . 4 $\text{[math]}$

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1. (2024八下·义乌月考) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．将形如ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一元二次方程称为“直系一元二次方程”．
1. （1）以下方程为“直系一元二次方程”的是；（填序号）
  ①3x²+4 $\text{[math]}$ x+5＝0；②5x²+13 $\text{[math]}$ x+12＝0．
3. （2）若x＝﹣1是“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0的一个根，且△ABC的周长为2 $\text{[math]}$ +2，求c的值．
5. （3）求证：关于x的“直系一元二次方程”ax²+ $\text{[math]}$ cx+b＝0必有实数根．
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1. (2024八下·义乌月考) 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金 $\text{[math]}$ 万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为 $\text{[math]}$ 万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x ，则所列方程正确的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ =3.2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·义乌月考) 如图，在长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为 $\text{[math]}$ ，则小路的宽为．

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1. (2024八下·上城期中) 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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