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1. (2024高三下·十堰模拟) 数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：幂势既同，则积不容异．用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图1，这是某细腰鼓型工艺品（上、下对称），其轴截面近似为图2中的实线图形，两段曲线是双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的一部分，内部虚线为双曲线C的渐近线．若该工艺品的底面圆的直径为4，高为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；利用祖窑原理可求得该工艺品的体积为．

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1. (2023高一下·邯郸期中) 在直角梯形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则( )

A . 该几何体为棱台 B . 该几何体的母线长为 $\text{[math]}$ C . 该几何体的表面积为 $\text{[math]}$ D . 该几何体的体积为 $\text{[math]}$

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1. (2023·成华模拟) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的顶点都在球 $\text{[math]}$ 的表面上，若球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时， $\text{[math]}$ .

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1. (2024·新疆维吾尔自治区模拟) 我国古代数学著作 $\text{[math]}$ 九章算术 $\text{[math]}$ 中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体 $\text{[math]}$ 如图所示，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的距离为 $\text{[math]}$ ，则这个羡除的体积 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高三下·重庆市模拟) 洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形 $\text{[math]}$ 和四边形 $\text{[math]}$ 是两个全等的等腰梯形， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 成的角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该屋顶的侧面积为（）

A . 80 B . $\text{[math]}$ C . 160 D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·保山期中) 已知 $\text{[math]}$ 的三边长分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 以 $\text{[math]}$ 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 $\text{[math]}$ C . 以 $\text{[math]}$ 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的表面积为 $\text{[math]}$ D . 以 $\text{[math]}$ 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 $\text{[math]}$

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1. (2024高一下·浙江期中) 已知圆台上、下底面的圆心分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，半径分别为2、4，高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，则（）

A . 圆台的体积为 $\text{[math]}$ B . 当圆锥的 $\text{[math]}$ 圆锥 $\text{[math]}$ 的体积相等时， $\text{[math]}$ C . 用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为20 D . 挖去以该圆台上底面为底，高为 $\text{[math]}$ 的圆柱后所得几何体的表面积为 $\text{[math]}$

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1. (2024高一下·浙江期中) 祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”。“幂”是截面积，“势”是立体的高。意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。
如图是一个半径为 $\text{[math]}$ 的球体，平面 $\text{[math]}$ 与球相交，截面为圆 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，交球于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 垂直于圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 垂直于圆 $\text{[math]}$ 内的所有直线）.
1. （1）若圆锥DB的侧面展开图扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，求圆锥DB的表面积和体积；
3. （2）如图平面 $\text{[math]}$ 上方与球体之间的部分叫球冠，若 $\text{[math]}$ ，请你利用祖暅原理求球冠的体积.
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1. (2024高一下·慈利期中) 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知 $\text{[math]}$ 则该青铜器的体积为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·贵港期中) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 是边长为6的正三角形，则三棱柱 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为；若 $\text{[math]}$ 是三棱柱 $\text{[math]}$ 外接球的球面上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内切圆上一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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