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1. (2024·上海) 在梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1所示，点F在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，联结 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ ；
  ①如图2所示，联结 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 外接圆的心恰好落在 $\text{[math]}$ 的平分线上，求 $\text{[math]}$ 的外接圆的半径长；
  ②如图3所示，如果点M在边 $\text{[math]}$ 上，联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于N ，如果 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·上海) 在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 $\text{[math]}$ 后得到的新抛物线经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求平移后新抛物线的表达式；
3. （2）直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与新抛物线交于点P ，与原抛物线交于点Q ．
  ①如果 $\text{[math]}$ 小于3，求m的取值范围；
  ②记点P在原抛物线上的对应点为 $\text{[math]}$ ，如果四边形 $\text{[math]}$ 有一组对边平行，求点P的坐标．
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1. (2024·上海) 如图所示，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2） $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024九下·西安模拟) （1）如图1， $\text{[math]}$ 是电影院的屏幕，C、D是两个不同的观影座位，其中C在圆上，D在圆外，仅从观看视角来看，坐在________（填C或D）位置更好，并说明理由．
（2）如图2，影厅 $\text{[math]}$ 是一个长为12米，宽为6米的矩形， $\text{[math]}$ 是观影屏幕，且 $\text{[math]}$ 米，观众座位设置在矩形 $\text{[math]}$ 区域内，其中 $\text{[math]}$ 米，第一排座位所在直线 $\text{[math]}$ 离屏幕的距离为2米，乐乐在买电影票时，发现只剩边列 $\text{[math]}$ 上的座位可选，为使观影视角最佳，在 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 最大，若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的长度，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）情况下， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点Q， $\text{[math]}$ 所在区域观影效果不佳，则此区域的面积 $\text{[math]}$ _______．

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1. (2024九下·苏州工业园模拟) 已知，关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，图象顶点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标（用数字或含 $\text{[math]}$ 的式子表示）：
  $\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______； $\text{[math]}$ ______；
3. （2）作出点 $\text{[math]}$ 关于对称轴的对称点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024九下·苏州工业园模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024·珠海模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于F ．则图中四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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1. (2024·苏州) 如图，△ABC中， $\text{[math]}$ ， D为AB中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ⊙O是△ACD的外接圆．
1. （1）求BC的长；
3. （2）求⊙O的半径．
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1. (2024九下·北票模拟) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\text{[math]}$ 长为半径画弧交于点P，作射线 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线分别交 $\text{[math]}$ 于点M，N，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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1. (2024九下·定州模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，D、E为边 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ ， H为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . 0.5 D . 1.5

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