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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点．直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的函数表达式．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
  ①若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
  ②在直线 $\text{[math]}$ 上取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧，在直线的下方作正方形 $\text{[math]}$ ，求正方形与抛物线有两个交点时 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·莘县模拟) 已知如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？
5. （3）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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1. (2024·厚街模拟) 综合应用．
已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，点P是抛物线一动点．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）如图1，当点P是第一象限内且在BC上方的动点，连接AP ，交BC于点D ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
5. （3）如图2，若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为Q ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024九下·南湖模拟) 在直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ．试探究：
  ①当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
  ② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
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1. (2024九下·广西壮族自治区模拟) 抛物线C₁：y₁＝x²﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；当t＝0时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；
②随t值的变化，抛物线C₁是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；
（2）若将抛物线C₁经过适当平移后，得到抛物线C₂：y₂＝（x﹣t）²+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C₂的解析式；
（3）设抛物线C₁的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x²﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根　　．

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1. (2024·宁波模拟) 如图，已知抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．

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1. (2024九下·杭州期中) 设二次函数 $\text{[math]}$ （a，c是常数）的图象与x轴有交点．
1. （1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
3. （2）若图象与x轴只有一个交点，且过 $\text{[math]}$ ，求此时a，c的值．
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 的表达式还可以写成 $\text{[math]}$ （m，n为常数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），设二次函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2024九下·南宁模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且自变量 $\text{[math]}$ 的部分取值与对应函数值 $\text{[math]}$ 如下表：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
3
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
3
4
3
0
$\text{[math]}$
1. （1）求二次函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
3. （2）如图，连接 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大？求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大面积．
5. （3）将线段 $\text{[math]}$ 先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·义乌模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A ，与y轴交于点B ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ ．
3. （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为 $\text{[math]}$ ，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则t的取值范围为．
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1. (2024九下·贺州模拟) 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $\text{[math]}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点N在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
方案二，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ ．其中，点 $\text{[math]}$ 在x轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
要在拱门中设置高为 $\text{[math]}$ 的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点A、D在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；方案二中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．现知，小华已正确求出方案二中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
1. （1）求方案一中抛物线的函数表达式；
3. （2）在方案一中，当 $\text{[math]}$ 时，求矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 并比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．
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