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1. (2024八下·杭州期中) 如图，将 $\text{[math]}$ 先沿 $\text{[math]}$ 折叠，再沿 $\text{[math]}$ 折叠后，A点落在线段 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 处，C点落在E处，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若恰有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024八下·大冶期中) 综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
1. （1）操作一：
  如图1，正方形纸片 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，得到折痕 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为M ，连接 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 沿过点A的直线折叠，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，得到折痕 $\text{[math]}$ ，将纸片展平，连接 $\text{[math]}$ ．
  根据以上操作，易得点E ， M ， F三点共线，且① $\text{[math]}$ °；②线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．
3. （2）【深入探究】
  操作二：
  如图2、将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在直线折叠，使点C落在正方形 $\text{[math]}$ 的内部，点C的对应点为N ，将纸片展平，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在 $\text{[math]}$ 边上某一位置时（点E不与点B ， C重合），点N恰好落在折痕 $\text{[math]}$ 上，此时 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P ，如图3所示．
  ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论 $\text{[math]}$ ，请证明该结论是否成立，并说明理由．
  ②【拓展应用】若正方形纸片 $\text{[math]}$ 的边长为3，当点N落在折痕 $\text{[math]}$ 上时，求出线段 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024八下·大冶期中) 如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．

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1. (2024·恩施模拟) 如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别取点M ， N ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（　　）

A . 12 B . 14 C . 16 D . 18

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1. (2024·恩施模拟) 如图，将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使点D落在 $\text{[math]}$ 边的中点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024七下·江岸期中) 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E ，交BC于F ，点C、D的落点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交BC于G ，再将四边形 $\text{[math]}$ 沿FG折叠，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的落点分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交EF于H ，下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是（填写序号）．

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1. (2024七下·石家庄期中)
如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置.若∠AED'=50°，则∠EFC等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·梁平期中) 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点E在 $\text{[math]}$ 边上，点F在 $\text{[math]}$ 边的左侧.
1. （1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
5. （3）如图3，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点Q为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若点E在射线 $\text{[math]}$ 上运动时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的最小值.
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1. (2024九下·黄石月考) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点 $\text{[math]}$ 处，折痕为EF ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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1. (2024七下·浙江期中) 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °．（含x的代数式表示）

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