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1. (2024高三下·江西模拟) 为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分．随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91．
1. （1）计算样本平均数 $\text{[math]}$ 和样本方差 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的估计值分别为样本平均数 $\text{[math]}$ 和样本方差 $\text{[math]}$ ，若按照 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线．（结果保留两位小数）（参考数据： $\text{[math]}$ ）
  附：若随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·宜春模拟) 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过甲公司的测试后选择签约的概率为 $\text{[math]}$ ，通过乙公司的测试后选择签约的概率为 $\text{[math]}$ ，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
1. （1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
3. （2）设小王获得年薪为 $\text{[math]}$ （单位：万元），求 $\text{[math]}$ 的分布列及其数学期望．
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1. (2024高三下·宜春模拟) 下列说法不正确的是（）

A . 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5 B . 一组数据 $\text{[math]}$ ， 3，2，5，7的中位数为3，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则方差 $\text{[math]}$ D . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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1. (2024·重启模拟) 某商场推出“云闪付”购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统计了活动刚推出一周内每天使用“云闪付”支付的人数，用 $\text{[math]}$ 表示活动推出的天数， $\text{[math]}$ 表示每天使用该支付方式的人数，统计数据如下表所示：
$\text{[math]}$
1
2
3
4
5
6
7
$\text{[math]}$
6
13
25
40
73
110
201
根据散点图判断，在推广期内，支付的人数 $\text{[math]}$ 关于天数 $\text{[math]}$ 的回归方程适合用 $\text{[math]}$ 表示.
1. （1）求该回归方程，并预测活动推出第8天使用“云闪付”的人数；（ $\text{[math]}$ 的结果精确到0.01）
3. （2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
  支付方式
  云闪付
  会员卡
  其它支付方式
  比例
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，“云闪付”的顾客随机优惠，其它支付方式的顾客无优惠，根据统计结果得知，使用“云闪付”的顾客，享7折的概率为 $\text{[math]}$ ，享8折的概率为 $\text{[math]}$ ，享9折的概率为 $\text{[math]}$ .设顾客购买标价为 $\text{[math]}$ 元的商品支付的费用为 $\text{[math]}$ ，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出 $\text{[math]}$ 的分布列，并求 $\text{[math]}$ .
  参考数据：设 $\text{[math]}$ .
  参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ .
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1. (2024高三下·重庆三模) 在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $\text{[math]}$ 次，红球出现 $\text{[math]}$ 次.假设每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $\text{[math]}$ 的估计值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1：3，不知道哪种颜色的球多，有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .
  注： $\text{[math]}$ 表示当每次摸出红球的概率为 $\text{[math]}$ 时，摸出红球次数为 $\text{[math]}$ 的概率.
  ①完成下表：
  $\text{[math]}$
  0
  1
  2
  3
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$
  ②在统计理论中，把使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大值时的 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值，记为 $\text{[math]}$ ，请写出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）把(1)中“使得 $\text{[math]}$ 的取值达到最大值时的 $\text{[math]}$ 作为 $\text{[math]}$ 的估计值 $\text{[math]}$ ”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
  具体步骤：先对参数 $\text{[math]}$ 构建对数似然函数 $\text{[math]}$ ，再对其关于参数 $\text{[math]}$ 求导，得到似然方程 $\text{[math]}$ ，最后求解参数 $\text{[math]}$ 的估计值.已知 $\text{[math]}$ 的参数 $\text{[math]}$ 的对数似然函数为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求参数 $\text{[math]}$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
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1. (2024高三下·大理模拟) 2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $\text{[math]}$ ，将该指标小于 $\text{[math]}$ 的人判定为阳性，大于或等于 $\text{[math]}$ 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $\text{[math]}$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $\text{[math]}$ ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．
1. （1）当临界值 $\text{[math]}$ 时，求漏诊率 $\text{[math]}$ 和误诊率 $\text{[math]}$ ；
3. （2）从指标在区间 $\text{[math]}$ 样本中随机抽取2人，记随机变量 $\text{[math]}$ 为未患病者的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
5. （3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记 $\text{[math]}$ 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当 $\text{[math]}$ 时，直接写出使得 $\text{[math]}$ 取最小值时的 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024高三下·大理模拟) 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A . 将总体划分为 $\text{[math]}$ 层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且已知 $\text{[math]}$ ，则总体方差 $\text{[math]}$ B . 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 $\text{[math]}$ 越接近于 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则事件 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相互独立 D . 某医院住院的 $\text{[math]}$ 位新冠患者的潜伏天数分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则该样本数据的第 $\text{[math]}$ 百分位数为 $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·彭山月考) 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为 $\text{[math]}$ ，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
1. （1）求甲、乙共答对2道题目的概率；
3. （2）设甲答对题数为随机变量X ，求X的分布列、数学期望和方差；
5. （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
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1. (2024高二下·彭山月考) 已知X的分布列如图所示，则下列说法正确的有（）
X
0
1
2
P
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
a

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·夷陵月考) 某不透明的盒子里装有若干个形状、大小、材质完全相同的红色和黑色的小球，现从盒子里随机抽取小球，每次抽取一个，用随机变量 $\text{[math]}$ 表示事件“抽到的小球为红色”发生的次数，下列说法正确的有（）

A . 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里不放回地抽取小球，则第一次抽到红色小球且第二次抽到黑色小球的概率为 $\text{[math]}$ B . 若盒子里有2个红色小球，4个黑色小球，从盒子里有放回地抽取6次小球，则 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . 若盒子里有 $\text{[math]}$ 个小球，其中红色小球有 $\text{[math]}$ 个，从盒子里不放回地随机抽取6个小球，且有红色球的数学期望为2，则盒子里黑色小球的个数是红色小球个数的2倍 D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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