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1. (2024高二下·承德月考) 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每道题目的概率均为 $\text{[math]}$ ，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
1. （1）求甲、乙共答对2道题目的概率；
3. （2）设甲答对的题数为随机变量X ，求X的分布列、数学期望和方差；
5. （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛．
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1. (2024高二下·承德月考) 设随机变量X服从正态分布，即 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高二下·承德月考) 已知某产品的销售额Y（单位：万元）与广告费用X（单位：万元）之间的关系如下表
X
0
1
2
3
4
Y
10
m
20
30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 产品的销售额与广告费用负相关 B . 该回归直线过点 $\text{[math]}$ C . 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D . m的值是15

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1. (2024高二下·承德月考) 已知离散型随机变量X的分布列如下表，其中满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）
X
0
1
2
P
a
b
c

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·吉林月考) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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1. (2024高二下·吉林月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·吉林月考) 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为 $\text{[math]}$ ，则随机变量 $\text{[math]}$ 的期望与方差分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·吉林月考) 在某次人工智能知识问答中，考生甲需要依次回答 $\text{[math]}$ 道试题.若甲答对某道试题，则下一道试题也答对的概率为 $\text{[math]}$ ，若甲答错某道试题，则下一道试题答对的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，考生甲第1道试题答对与答错的概率相等，记考生甲答对试题的道数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，且考生甲答对第1道试题，求他第10道试题也答对的概率.
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1. (2024高二下·广安月考) 新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
1. （1）若某道多选题的正确答案是AB ，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
3. （2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
  方案一：只选择A选项；
  方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
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1. (2024高二下·广安月考) 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下：
投入x（亿元）
2
3
4
5
6
产品收益y（亿元）
3
7
9
10
11
参考公式：相关系数 $\text{[math]}$ ，回归方程 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ．
本题相关数据： $\text{[math]}$ ．
1. （1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当 $\text{[math]}$ 时，变量x ， y有较强的线性相关关系）；
3. （2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益．
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