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1. (2024九下·濮阳模拟) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 两个顶点在 $\text{[math]}$ 轴的上方，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为位似中心，在 $\text{[math]}$ 轴的下方作 $\text{[math]}$ 的位似图形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位似比是 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标是 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 的横坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·广东模拟) 综合运用
如图1，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．点C是边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＝________°；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）如图2，作点C关于 $\text{[math]}$ 的对称点E，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求S关于m的函数表达式．
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1. (2024九下·广东模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F在 $\text{[math]}$ 边上，G，H分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点M，若 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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1. (2024九下·广州模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，折叠正方形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 恰好与 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 重合，展平后，折痕 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中一定正确的是．

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1. (2024·台湾) 如图1，等腰梯形纸片ABCD中，AD∥BC ， AB＝DC ， ∠B＝∠C ，且E点在BC上，DE∥AB ．今以DE为折线将C点向左折后，C点恰落在AB上，如图2所示．若CE＝2，DE＝4，则图2的BC与AC的长度比为何？（　　）

A . 1：2 B . 1：3 C . 2：3 D . 3：5

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1. (2024·南山模拟) 已知：如图，在四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，点P从点A出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ；同时，点Q从点M出发，沿 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，速度为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点H，交 $\text{[math]}$ 于点G．设运动时间为 $\text{[math]}$ ．

解答下列问题：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时，点M在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上？
3. （2）连接PQ，作 $\text{[math]}$ 于点N，当四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，求t的值；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求S与t的函数关系式；
7. （4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在 $\text{[math]}$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·河南模拟) 折纸游戏：小明剪出一个直角三角形的纸片 $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，找出 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上找任意一点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对称轴折叠 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，小明发现，当点 $\text{[math]}$ 的位置不同时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的三边位置关系也不同，请帮小明解决问题：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·平房模拟) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点M、N分别为边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
初步尝试：（1） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是__________， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系是__________．
特例研讨：（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，先将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），得到 $\text{[math]}$ ，当点A、E、F在同一直线上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点D，连接 $\text{[math]}$
①求 $\text{[math]}$ 时度数；
②求 $\text{[math]}$ 的长．

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1. (2024九下·平房模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， F为 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长为．

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1. (2024九下·阳泉模拟) 综合与探究
如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上直线 $\text{[math]}$ 下方的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 三点的坐标，并直接写出直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （2）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示线段 $\text{[math]}$ 的长，并求出 $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 有最大值，并求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，则在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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