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1. (2024九下·朔州模拟) 综合与实践
问题情景：
如图 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
猜想证明：
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求旋转角 $\text{[math]}$ 的正切值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 旋转到图 $\text{[math]}$ 的情况时，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系；
  拓展应用：
5. （3）在（ $\text{[math]}$ ）的条件下， $\text{[math]}$ 旋转的过程中，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．
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1. (2024九下·朔州模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
3. （2）若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不包括端，点），过点P作x轴的垂线，与抛物线交于点M，设点P的横坐标为m．
  ①求线段 $\text{[math]}$ 的最大长度；
  ②是否存在点P，使得以P、M、C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·朔州模拟) 如图，已知长方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 边上一点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠后，点B落在点F处， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点H，则 $\text{[math]}$ 的长是．

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1. (2024八下·泉州期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿DE对折至 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，给出以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中所有正确结论的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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1. (2024九下·武清模拟) 将一个直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，其中 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，过边 $\text{[math]}$ 上的动点 $\text{[math]}$ (不与点 $\text{[math]}$ 重合)作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______，点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______；
3. （2）沿着PQ折叠该纸片，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ．设折叠后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  ①如图②，若折叠后的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的重叠部分为四边形， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值（直接写出结果即可）．
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1. (2024九下·武清模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （2）如图②，过点E作 $\text{[math]}$ 的切线，与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点G．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024九下·永城模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024九下·永城模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限内， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，此时点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 轴上，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·古冶模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上．连接 $\text{[math]}$ ．按以下步骤作图：（1）以点 $\text{[math]}$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点；（2）再分别以 $\text{[math]}$ 两点为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ；（3）连接 $\text{[math]}$ 并延长，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点．若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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1. (2024九下·古冶模拟) 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段 $\text{[math]}$ 的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（）

A . C点 B . F点 C . E点 D . G点

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