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1. (2024·文成模拟) 图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条 $\text{[math]}$ ，支点D ， F分别固定在支撑条上 $\text{[math]}$ ，活动条DE绕点D转动， $\text{[math]}$ ，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC ，则EF的长为cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为cm．

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1. (2024·文成模拟) 如图，△ABC是等腰三角形，AC⊥BC ，以点A为圆心，AC为半径画弧，交边AB于点D ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

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1. (2024·文成模拟) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 直径，点C为 $\text{[math]}$ 上一点，四边形ABCD为平行四边形，且CD与交00交于点E ，延长DA交 $\text{[math]}$ 于点F ，连结BE ， BF ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求BF的长．
  ②在线段BE上取点G ，连结DG ， FG ，若△DFG为等腰三角形，求EG的值．
5. （3） .连结AE ， AC ，当点D关于直线AE的对称点 $\text{[math]}$ 恰好落在AC上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·重庆市模拟) 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点D、E均在点C的正北方向且CE＝900米，点B在点C的正西方向，且BC $\text{[math]}$ 米，点B在点A的南偏东60°方向且AB＝600米，点D在点A的东北方向．（参考数据： $\text{[math]}$ ）
1. （1）求道路AD的长度（结果保留根号）；
3. （2）若甲从A点出发沿A﹣D﹣E的路径去点E，与此同时乙从点B出发，沿B﹣A﹣E的路径去点E，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
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1. (2024九下·丰城月考) 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
1. （1）转动连杆BC，手臂CD，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $\text{[math]}$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.
3. （2）物品在操作台 $\text{[math]}$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
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1. (2023·防城模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）以 $\text{[math]}$ 为直径，利用尺规作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
3. （2）在（1）中所作的图中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2023·防城模拟) 综合与实践
【问题情境】南宁青秀山龙象塔始建于明代万历年间，塔呈八角形，九级重檐结构，是青秀山的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量龙象塔的高．
1. （1）【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 米，即可得出塔高 $\text{[math]}$ __________米（请你用所给数据 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 表示）．
3. （2）【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的 $\text{[math]}$ 点，因此BC无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的 $\text{[math]}$ 点向前走 $\text{[math]}$ 米到达点 $\text{[math]}$ 处后，在 $\text{[math]}$ 处测得塔顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，即可通过计算求得塔高AB．若测得的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，请你利用所测数据计算塔高AB．（计算结果精确到1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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1. (2024·南宁模拟) 几何探究
【课本再现】
如图1，正方形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 又是正方形 $\text{[math]}$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．在实验与探究中，小新发现无论正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 怎样转动， $\text{[math]}$ 之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明 $\text{[math]}$ 即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
1. （1）求证 $\text{[math]}$ ；
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是
5. （3）【类比迁移】
  如图2，矩形 $\text{[math]}$ 的中心 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的一个顶点， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，猜想 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并进行证明；
7. （4）【拓展应用】
  如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的中点处，它的两条边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 可绕着点 $\text{[math]}$ 旋转，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．
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1. (2024·罗湖模拟) 如图，在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ABC沿着折痕DE翻折后，点A恰好落在线段BC的延长线上的点P处，如果 $\text{[math]}$ ，那么折痕DE的长为．

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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点．直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的函数表达式．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
  ①若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
  ②在直线 $\text{[math]}$ 上取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧，在直线的下方作正方形 $\text{[math]}$ ，求正方形与抛物线有两个交点时 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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