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1. (2024九下·浙江模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 切 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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1. (2024八下·防城月考) 如图，已知BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=90°.
1. （1）求证：AB平分∠EAC；
3. （2）若AD=1，CD=3，求BD.
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1. (2024八下·西塘月考) 阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日星期日

用等面积法解决问题

周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的．

比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ．

再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离．我们也可以利用等面积法求得点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 ② ．

总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．

任务：

（1）请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________．
（2）尺规作图：在图2中作 $\text{[math]}$ 的角平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （保留作图痕迹，不写作法）．
（3）在（2）的条件下，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

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1. (2024九下·新昌模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，观察图中尺规作图的痕迹，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024七下·巴楚月考) 如图，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024八下·容县期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，用直尺和圆规作 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 18 B . 20 C . 22 D . 24

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1. (2024七上·拱墅期末) 如图，点O在直线 $\text{[math]}$ 上，在直线 $\text{[math]}$ 的同侧作射线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互余．作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024七上·拱墅期末) 综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
问题1：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _______．
问题2：已知 $\text{[math]}$ ，点C是 $\text{[math]}$ 的中点，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ _______．
数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空．
深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．
（2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图1，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 同侧）， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数（无需作答）．
完成下列问题的解答：
①“运河小组”提出问题：如图2，线段 $\text{[math]}$ ，点C，D在线段 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，点E，F分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点，求 $\text{[math]}$ 的长．
②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 两侧）， $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数．

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1. (2024八下·南海期中) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

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1. (2024七下·西塘开学考) 如图1，将直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 放置在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内部的一条射线．
1. （1）观察图1，解决下列问题：
  ①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______°， $\text{[math]}$ ______°；
  ②若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
3. （2）如图2，当直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 只有点 $\text{[math]}$ 放置在直线 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
  ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②请直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系．
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