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1. (2024·游仙模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2，4）、P（-1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·绵竹模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点O在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D ，以点O为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．
3. （2）若 $\text{[math]}$ 的半径为5， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·罗湖模拟) 【问题探究】
课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：
如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
1. （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
3. （2）【初步运用】
  如图2，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点D为AC的中点，连接BD，过点A作 $\text{[math]}$ 于点点E，交BC于点F，求 $\text{[math]}$ 的值．
5. （3）【灵活运用】
  如图3，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E，F分别在边AB，AD上，且 $\text{[math]}$ ，垂足为G，则 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·惠城模拟) 如图所示，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与点B ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴．
1. （1）求抛物线和直线BC的表达式，并求出点D的坐标；
3. （2）如图所示，若点M是直线BC上方抛物线上一动点，连接OM ，交BC于点H ，过点M作x轴的平行线，交直线BC于点G ，设点M的横坐标为m ．
  ①求用含m的代数式表示线段MG的长；
  ②求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024·惠城模拟) 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（不与B ， C重合）， $\text{[math]}$ 于点G ，交对角线AC于点H ，交CD于点F ．为了探究HC与BE之间的数量关系，在如图2中，作 $\text{[math]}$ ， EM交AB的延长线于点M ．
1. （1）如图2，①求证： $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【类比迁移】如图3，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点G ，交AC于点H ，交CD于点F ．求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）【拓展应用】如图4，在等边三角形ABC中， $\text{[math]}$ ， E是DC的中点， $\text{[math]}$ ，交AE于点G ，交AC于点F ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·莘县模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2024·深圳模拟) 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，E 是对角线 AC上一点，连接 BE，作∠BEF=120°交 CD 边于点 F，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·厚街模拟) 综合应用．
已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，点P是抛物线一动点．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）如图1，当点P是第一象限内且在BC上方的动点，连接AP ，交BC于点D ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
5. （3）如图2，若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为Q ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024·湖南模拟) 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为2：5，且三角尺的面积为 $\text{[math]}$ ，则投影三角形的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·湖南模拟) 如图，Rt $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交AB于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接AF交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接CG，DG，AD，设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．
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