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1. (2024·湖北一模) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， C两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，经过点C的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为M ．
1. （1）直接写出b ， c的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求k的值；
5. （3）若D为BC上的点，F为AC上的点， $\text{[math]}$ ，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E ，连接DE ， BF ，如图2，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求点F的坐标．
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1. (2024·广水模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A ， B两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；
5. （3）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与抛物线相交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 面积 $\text{[math]}$ 最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大.
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1. (2024九下·浙江模拟) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是原点．直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的函数表达式．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，
  ①若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
  ②在直线 $\text{[math]}$ 上取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧，在直线的下方作正方形 $\text{[math]}$ ，求正方形与抛物线有两个交点时 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024·莘县模拟) 已知如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？
5. （3）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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1. (2024·厚街模拟) 综合应用．
已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，点P是抛物线一动点．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）如图1，当点P是第一象限内且在BC上方的动点，连接AP ，交BC于点D ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
5. （3）如图2，若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作 $\text{[math]}$ ，垂足为Q ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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1. (2024九下·广西壮族自治区模拟) 抛物线C₁：y₁＝x²﹣1﹣2t（x﹣1）（t≠1）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；当t＝0时，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；
②随t值的变化，抛物线C₁是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标；若不会，请说明理由；
（2）若将抛物线C₁经过适当平移后，得到抛物线C₂：y₂＝（x﹣t）²+t﹣1，A，B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求抛物线C₂的解析式；
（3）设抛物线C₁的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x²﹣1﹣2t（x﹣1）＝0（t≠1）的根　　．

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1. (2024·宁波模拟) 如图，已知抛物线y＝x²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．

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1. (2024九下·南湖模拟) 在直角坐标系中， $\text{[math]}$ 是坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交抛物线 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ．试探究：
  ①当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．
  ② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由．
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1. (2024九下·杭州期中) 设二次函数 $\text{[math]}$ （a，c是常数）的图象与x轴有交点．
1. （1）若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
3. （2）若图象与x轴只有一个交点，且过 $\text{[math]}$ ，求此时a，c的值．
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 的表达式还可以写成 $\text{[math]}$ （m，n为常数， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），设二次函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2024九下·南宁模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且自变量 $\text{[math]}$ 的部分取值与对应函数值 $\text{[math]}$ 如下表：
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
1
2
3
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
0
3
4
3
0
$\text{[math]}$
1. （1）求二次函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
3. （2）如图，连接 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大？求出此时 $\text{[math]}$ 点的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大面积．
5. （3）将线段 $\text{[math]}$ 先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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