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1. (2024·湖北一模) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， C两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，经过点C的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的另一个交点为M ．
1. （1）直接写出b ， c的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求k的值；
5. （3）若D为BC上的点，F为AC上的点， $\text{[math]}$ ，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E ，连接DE ， BF ，如图2，当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，求点F的坐标．
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1. (2024·湖北一模) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以AB为直径的 $\text{[math]}$ 交AC于点F ， D为BC的中点，直线DF与直线AB交于点E ．
1. （1）求证：DF为 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求EF的长．
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1. (2024·广水模拟) 如图，某楼房 $\text{[math]}$ 顶部有一根天线 $\text{[math]}$ ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 处测得天线顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 走到点 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 米，从点 $\text{[math]}$ 测得天线底端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条垂直于地面的直线上， $\text{[math]}$ 米.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离；
3. （2）求天线 $\text{[math]}$ 的高度.（参考数据： $\text{[math]}$ ，结果保留整数）
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1. (2024·定海模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是半圆O的直径，弦 $\text{[math]}$ 相交于点P，若 $\text{[math]}$ 的度数之和为120°，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·景德镇期中) 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于M、N，若MN=1，则BC=.

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1. (2024·文成模拟) 到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边ED和CD分别与AB交于点F和点G ，连接CF ．若△ABD的面积为7，且 $\text{[math]}$ ，则FD的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·文成模拟) 图1是某品牌电脑支架，图2是某兴趣小组设计的可调节的电脑支架示意图，支撑条 $\text{[math]}$ ，支点D ， F分别固定在支撑条上 $\text{[math]}$ ，活动条DE绕点D转动， $\text{[math]}$ ，活动条EF长度不变．闭合支架（AB与AC重合）时，点E与点B重合．如图3，打开支架，当点E落在支撑条AB上时，EF⊥AC ，则EF的长为cm；当∠A度数达到最大时，则点C到支撑条AB的距离为cm．

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1. (2024·文成模拟) 如图，△ABC是等腰三角形，AC⊥BC ，以点A为圆心，AC为半径画弧，交边AB于点D ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

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1. (2024·文成模拟) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 直径，点C为 $\text{[math]}$ 上一点，四边形ABCD为平行四边形，且CD与交00交于点E ，延长DA交 $\text{[math]}$ 于点F ，连结BE ， BF ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求BF的长．
  ②在线段BE上取点G ，连结DG ， FG ，若△DFG为等腰三角形，求EG的值．
5. （3） .连结AE ， AC ，当点D关于直线AE的对称点 $\text{[math]}$ 恰好落在AC上，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九下·丰城月考) 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，
1. （1）转动连杆BC，手臂CD，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，求手臂端点D离操作台 $\text{[math]}$ 的高度DE的长（精确到1cm，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.
3. （2）物品在操作台 $\text{[math]}$ 上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由.
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