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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·梅县区模拟) 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C ．
1. （1）求这个抛物线的函数解析式；
3. （2）求直线AC的函数解析式；
5. （3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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1. (2024·德阳模拟) 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）．
1. （1）如图1，将抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A^'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；
3. （2）如图2，抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P ， C两点，与图象“G”交于点D ．
  ①当 $\text{[math]}$ 时，求证：PC＝CD；
  ②当a≠1时，请用合适的式子表示 $\text{[math]}$ （直接写结果）．
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1. (2024九下·长春月考) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （b为常数）经过点 $\text{[math]}$ ，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点A作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点B ，点C为抛物线对称轴上一点，且 $\text{[math]}$ 轴，连结BC ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是；
5. （3） A、B两点之间的距离为d ，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值；
7. （4）已知点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，当直线AP将 $\text{[math]}$ 的面积分成 $\text{[math]}$ 两部分且 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的值．
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1. (2024·广东模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，并交 $\text{[math]}$ 轴于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·揭东模拟) 如图， $\text{[math]}$ 的两直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴和 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点，且顶点在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求抛物线对应的函数关系式；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移得到的，当四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，试判断点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 是否在该抛物线上，并说明理由；
5. （3）在 $\text{[math]}$ 的前提下，若 $\text{[math]}$ 点是 $\text{[math]}$ 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并求 $\text{[math]}$ 取最大值时，点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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1. (2024·化州模拟) 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
1. （1）理解应用：如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知四边形 $\text{[math]}$ 是垂等四边形，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ，点C的坐标为 $\text{[math]}$ ，则点B的坐标为．
3. （2）综合探究：如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点，点A在点B的左侧，C ， D两点在该抛物线上．若以A ， B ， C ， D为顶点的四边形是垂等四边形，设点C的横坐标为m ，点D的横坐标为n ，且 $\text{[math]}$ ，求m的值．
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1. (2024·阳江模拟) 综合运用
如题图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）设点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，点B ， C ， M ， N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·阳新模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，下列判断正确的是( )

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

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1. (2024·双流模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）点P是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点E ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）将该抛物线沿x轴向右平移4个单位长度得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得以B ， C ， N ， M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
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