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1. (2024八下·潮安期中) 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是．

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1. (2024八下·台州开学考) 如图所示，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是对角线， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024八下·台州开学考) 在△ABC中，AC＝BC ， ∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
1. （1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE²＝AD²+BE²（不必证明）；
3. （2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE²＝AD²+BE²；
5. （3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
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1. (2024八下·信宜期中) 已知，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【特殊情况，探索结论】
  如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，确定线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，请你直接写出结论： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ ．
3. （2）【特例启发，解答题目】
  如图 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上任意一点时，确定线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，请你直接写出结论， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填“ $\text{[math]}$ ”、“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ” $\text{[math]}$ ；理由如下，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 请你完成以下解答过程 $\text{[math]}$ ．
5. （3）【拓展结论，设计新题】
  在等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长 $\text{[math]}$ 请你画出相应图形，并直接写出结果 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024八下·三水期中) 如图1，点 $\text{[math]}$ 分别是边长为 $\text{[math]}$ 的等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 从顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从顶点 $\text{[math]}$ 同时出发，且它们的速度都为 $\text{[math]}$ ．
图1 图2
1. （1）连接 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 运动的过程中， $\text{[math]}$ 变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 在运动过程中，设运动时间为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？
5. （3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 在运动到终点后继续在射线 $\text{[math]}$ 上运动，直线 $\text{[math]}$ 交点为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 运动的过程中， $\text{[math]}$ 的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
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1. (2024八下·三水期中) 如图， $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ 可以由 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到；②点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为6；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）个

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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1. (2024八下·经开期中) 如图是由小正方形组成的 $\text{[math]}$ 网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点．正方形 $\text{[math]}$ 四个顶点都是格点．点E的坐标为 $\text{[math]}$ ．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程线用虚线，结果线用实线表示．
1. （1）在图1中，以 $\text{[math]}$ 为边画 $\text{[math]}$ ；
3. （2）在图1中，在 $\text{[math]}$ 上画点M ，使得 $\text{[math]}$ ；
5. （3）在图2中，在 $\text{[math]}$ 上画点G ，使得 $\text{[math]}$
7. （4）直接写出 $\text{[math]}$ 与x轴交点的横坐标；
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1. (2024八下·经开期中) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点O是对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点Q是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（点Q不与点O ， A重合），连结 $\text{[math]}$ ，并延长交边 $\text{[math]}$ 于点E ，过点Q作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，分别连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交对角线 $\text{[math]}$ 于点G ，过点C作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点H ，连结 $\text{[math]}$ ．以下四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 周长为8；③ $\text{[math]}$ ， ④线段 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论是．（填序号）

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1. (2024八下·经开期中) 在菱形 $\text{[math]}$ 和菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，若点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，点F在菱形 $\text{[math]}$ 内部，连接 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度为；
3. （2）如图2，把菱形 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并给出证明；
5. （3）如图3，①把菱形 $\text{[math]}$ 继续绕点B顺时针旋转，连接 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，试探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系；②直接写出菱形 $\text{[math]}$ 绕B点旋转过程中 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024九下·麻城期中) 某校数学活动小组探究了如下数学问题：
1. （1）问题发现：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是底边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
3. （2）变式探究：如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点P是腰 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
5. （3）问题解决：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$
  是正方形 $\text{[math]}$ 两条对角线的交点，连接 $\text{[math]}$ ．若正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出正方形 $\text{[math]}$ 的边长．
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