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1. (2024九下·德宏模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求这条抛物线的解析式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在（1）中的抛物线上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·浙江模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，且 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 1) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点的横坐标，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·仙居二模) 已知点 $\text{[math]}$ 是二次函数 $\text{[math]}$ 函数图象上的两个点，若关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两根 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024九下·宝坻模拟) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 轴的点 $\text{[math]}$ 处．
1. （1）如图①，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围（直接写出结果即可）．
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1. (2024九下·景德镇模拟) 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为 $\text{[math]}$ 米的花形柱子 $\text{[math]}$ ，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，为使水流形状较为美观，设计成水流在距 $\text{[math]}$ 的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面 $\text{[math]}$ 米．
1. （1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到 $\text{[math]}$ 水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
3. （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高 $\text{[math]}$ 米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子 $\text{[math]}$ 的距离为d米，求d的取值范围；
5. （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 $\text{[math]}$ 角，如图3，光线交汇点P在花形柱子 $\text{[math]}$ 的正上方，其中光线 $\text{[math]}$ 所在的直线解析式为 $\text{[math]}$ ，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
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1. (2024九下·锡山模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上运动．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点的坐标；
3. （2）设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与抛物线对称轴相交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，探索 $\text{[math]}$ 是否随着点 $\text{[math]}$ 的运动而发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请说明理由；
5. （3）将抛物线 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 方向平移，顶点 $\text{[math]}$ 的对应点记作 $\text{[math]}$ ，若平移后的抛物线上有且仅有两个点到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ 请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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1. (2024九下·唐河模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A．已知抛物线顶点的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 在此抛物线上．
1. （1）求出此抛物线的对称轴和解析式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求n的取值范围；
5. （3）若此抛物线在点P右侧的部分（不含点P）上，恰好有三个点到x轴的距离为2，请直接写出m的取值范围．
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1. (2024九下·滨海模拟) 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为原点，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，顶点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴上．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移，得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ；
  ①如图②，当 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 重叠部分为五边形时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②请直接写出满足 $\text{[math]}$ 的所有 $\text{[math]}$ 的值______．
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1. (2024·湖南模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若二次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
5. （3）若 $\text{[math]}$ 可取全体实数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为-2．设二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴的两个交点坐标分别为 $\text{[math]}$ ，求线段AB的长度．
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1. (2024九下·郓城模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，现将其图象向上平移 $\text{[math]}$ 个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 有两个交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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