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  • 1. (2024·桂林一模) 联想与思考

    【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系,即:如图1,在锐角中,的对边分别是 , 设的内切圆半径为的面积为 , 则.小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题:任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆,那么锐角三角形的面积与它的外接圆半径有怎样的关系呢?

    图1

    【分析问题】为解决该问题,老师让同学们进行了如下的思考与探究:

    1. (1) 如图2,设锐角的外接圆半径为 , 同学们得出猜想:.

      在证明的过程中,同学们发现该猜想的结论与有关,由此启发:添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答,请你补全证明过程:

      连接并延长交于点 , 连接

      .

      图2                                图3

    2. (2) 请你根据上述启发,结合图3,证明:.
    3. (3) 【解决问题】

      结合(1)、(2)的结论,请探究出锐角三角形的面积与它的外接圆半径之间的关系(用含有的式子表示),并说明理由.

  • 1. (2024·威远模拟) 如图,四边形内接于的直径, , 过点的直线l交的延长线于点 , 交的延长线于点 , 且

      

    1. (1) 求证:的切线;
    2. (2) 求证:
    3. (3) 当时,求的长.
  • 1. (2023·安徽模拟) 如图1,的直径,为弦,过圆心O作于D,点E为延长线上一点,的切线.

    1. (1) 求证:
    2. (2) 如图2,取弧的中点P,连接 , 若 , 求弦的长.
  • 1. (2024·宜州模拟) 综合与实践

    小赵同学在学习完“圆”这一章内容后,发现某些几何题目,通过添加辅助圆,运用圆的知识去解决,可以使问题变得容易.这个过程称为“化隐圆为显圆”。

    图1 图2 图3 图4

    1. (1) 【学习心得】这类题目主要是两种类型:

      ①“定点+定长”:如图1,在中,D外一点,且 , 求的度数.

      解:若以点A(定点)为圆心,AB(定长)为半径作辅助圆 , 则点CD必在上,中圆心角,而是圆周角,从而可容易得到    ▲    

      ②“定角十定弦”:如图2,在中,P内部的一个动点,且满足 , 求线段CP长的最小值

      解:

          ▲     , (定角)

      P在以AB(定弦)为直径的上。

      请将以上解答的过程补充完整,

    2. (2) 【问题解决】如图3,在矩形ABCD中,已知PBC边上一动点(点P不与点BC重合),连接AP , 作点B关于直线AP的对称点M , 则线段MC的最小值为
    3. (3) 【问题拓展】如图4,在正方形ABCD中, , 动点EF分别在边DCCB上移动,且满足 . 连接AEDF , 交于点P

      ①写出AEDF的数量关系和位置关系,并说明理由;

      ②点E从点D开始运动到点C时,点P也随之运动,请求出点P的运动路径长.

  • 1. (2024·新兴模拟) 如图,的内接三角形,AC是直径,上的一点,且.连接AD , 过点 , 交AC于点 , 交AD于点 , 交于点.

    1. (1) 求证:.
    2. (2) 求证:.
    3. (3) 若 , 求的值.
  • 1. (2024·澧县模拟) 如图,在△OAB中,OA=OB,C为AB中点,以O为圆心,OC长为半径作圆,AO与⊙O交于点E,OB与⊙O交于点F和D,连接EF,CF,CF与OA交于点G

    1. (1) 求证:直线AB是⊙O的切线;
    2. (2) 求证:△GOC∽△GEF;
    3. (3) 若AB=4BD,求sinA的值.
  • 1. (2024·上城模拟) 如图,△ABC内接于⊙O , 点D为弦AB的中点,连接DOOB , 延长DO交弦AC的延长线于点EDE与弦BC交于点FDE与⊙O交于点G已知AB=6,DG=9.

    1. (1) 求⊙O的半径;
    2. (2) 求证:∠E=∠OBC
    3. (3) 若OF=3,求CF的长.
  • 1. (2024·黔东南会考)  如图,⊙O是△ABC的外接圆, . , 连接AO, 延长AO交BC于点D, 交⊙O于点E.

    1. (1) ∠ACE的度数为度,写出图中一对全等的三角形:
    2. (2) 求证: △ADB∽△BDE;
    3. (3)  若OD=DE, 试求∠BAC的度数.
  • 1. (2024·天山模拟)  如图,以的边为直径做于点A , 连接并延长交于点B , 连接 , 且

    1. (1) 求证:的切线;
    2. (2) 若 , 求线段的长(保留根号).
  • 1. (2024九下·昭阳月考) 如图,的直径,相交于点平分 , 点上,且于点

    1. (1) 求证:的切线;
    2. (2) 求证:
    3. (3) 已知 , 求的值.
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