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1. (2024·桂林一模) 联想与思考
【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1，在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .小明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径有怎样的关系呢？
图1
【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：
1. （1）如图2，设锐角 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ ，同学们得出猜想： $\text{[math]}$ .
  在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与 $\text{[math]}$ 有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程：
  连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
  图2 图3
3. （2）请你根据上述启发，结合图3，证明： $\text{[math]}$ .
5. （3）【解决问题】
  结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积 $\text{[math]}$ 与它的外接圆半径 $\text{[math]}$ 之间的关系（用含有 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ），并说明理由.
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1. (2024·威远模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线l交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2023·安徽模拟) 如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为弦，过圆心O作 $\text{[math]}$ 于D，点E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，取弧 $\text{[math]}$ 的中点P，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求弦 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·宜州模拟) 综合与实践
小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，发现某些几何题目，通过添加辅助圆，运用圆的知识去解决，可以使问题变得容易．这个过程称为“化隐圆为显圆”。
图1 图2 图3 图4
1. （1）【学习心得】这类题目主要是两种类型：
  ①“定点+定长”：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D是 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ ，求的度数．
  解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆 $\text{[math]}$ ，则点C ， D必在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中圆心角，而 $\text{[math]}$ 是圆周角，从而可容易得到 $\text{[math]}$ ▲ ．
  ②“定角十定弦”：如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P是 $\text{[math]}$ 内部的一个动点，且满足 $\text{[math]}$ ，求线段CP长的最小值
  解： $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ▲ ，（定角）
  $\text{[math]}$ 点P在以AB(定弦)为直径的 $\text{[math]}$ 上。
  请将以上解答的过程补充完整，
3. （2）【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知 $\text{[math]}$ ， P是BC边上一动点（点P不与点B ， C重合），连接AP ，作点B关于直线AP的对称点M ，则线段MC的最小值为．
5. （3）【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，动点E ， F分别在边DC ， CB上移动，且满足 $\text{[math]}$ ．连接AE和DF ，交于点P ．
  ①写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
  ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长．
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1. (2024·新兴模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形，AC是直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ .连接AD ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交AC于点 $\text{[math]}$ ，交AD于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
3. （2）求证： $\text{[math]}$ .
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·澧县模拟) 如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，OB与⊙O交于点F和D，连接EF，CF，CF与OA交于点G
1. （1）求证：直线AB是⊙O的切线；
3. （2）求证：△GOC∽△GEF；
5. （3）若AB=4BD，求sinA的值.
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1. (2024·上城模拟) 如图，△ABC内接于⊙O ，点D为弦AB的中点，连接DO、OB ，延长DO交弦AC的延长线于点E ， DE与弦BC交于点F ， DE与⊙O交于点G ，已知AB＝6，DG＝9．
1. （1）求⊙O的半径；
3. （2）求证：∠E＝∠OBC；
5. （3）若OF＝3，求CF的长．
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1. (2024·黔东南会考) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，． $\text{[math]}$ ，连接AO，延长AO交BC于点D，交⊙O于点E．
1. （1） ∠ACE的度数为度，写出图中一对全等的三角形：；
3. （2）求证： △ADB∽△BDE；
5. （3）若OD=DE，试求∠BAC的度数．
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1. (2024·天山模拟) 如图，以 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 为直径做 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点A ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点B ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长（保留根号）．
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1. (2024九下·昭阳月考) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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