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1. (2024八下·吉州月考)
图1 图2 图3
1. （1）【阅读理解】如图1，等边 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
  将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 处，得 $\text{[math]}$ ，可以利用旋转变换，将三条线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 转化到一个三角形中，从而求出 $\text{[math]}$ 的度数．请你写出完整的解题过程．
3. （2）【基本运用】请你利用第（1）题的解答方法，解答问题：
  如图2， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3）【能力提升】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．
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1. (2024七下·南海期中) 阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知 $\text{[math]}$ 中，AD是BC边上的中线．求证： $\text{[math]}$
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长AD至E ，使 $\text{[math]}$ ，
∵AD是BC边上的中线，
$\text{[math]}$
在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ （依据一），
$\text{[math]}$
在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （依据二），
$\text{[math]}$ ，
归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使 $\text{[math]}$ ，构造了一对全等三角形，将AB ， AC ， AD转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”，“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务：
1. （1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
  依据1：；
  依据2：．
3. （2）如图3， $\text{[math]}$ ，则AD的取值范围是；
5. （3）如图4，在图3的基础上，分别以AB和AC为边作等腰直角三角形，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．连接EF ，试探究EF与AD的数量关系，并说明理由．
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1. (2024七下·南海期中) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在BC上，则CE的长度为．

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1. (2024·安源模拟) 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，（点D与不B ， C重合），以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）观察猜想
  如图①当点D在线段 $\text{[math]}$ 上时，① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为；
  ② $\text{[math]}$ 之间的数量关系为（将结论直接写在横线上）．
3. （2）数学思考
  如图②，当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明；
5. （3）拓展延伸
  如图③，当点D在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，连接 $\text{[math]}$ ，若已知 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·深圳模拟)
1. （1）【问题提出】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为等腰直角三角形，并说明理由；
3. （2）【问题探究】
  如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）【问题解决】
  节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区 $\text{[math]}$ ，经测量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，为了方便处理污水，该工厂在边 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点均不与端点重合），使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长交于点 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 处安装一个污水处理设备．根据规划要求， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 应相等，请问 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？并说明理由．
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1. (2024·深圳模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，沿直线 $\text{[math]}$ 折叠 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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1. (2024八下·瑞金期中) 如图所示，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024八下·瑞金期中) 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024八下·南宁期中) 【问题提出】（1）为了探索代数式 $\text{[math]}$ 的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，分别过点B、D作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．
①则 $\text{[math]}$ 　　， $\text{[math]}$ 　　.(用含x的代数式表示)．
②如图2，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于F，构造矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，此时A、C、E三点共线， $\text{[math]}$ 的值最小，则 $\text{[math]}$ 的最小值=　　．
【迁移应用】（2）如图3，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 边上，点G在 $\text{[math]}$ 边上，且 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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1. (2024七下·上海市月考) 已知 $\text{[math]}$ ，在平面直角坐标系中，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的面积为_______；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 的坐标为_______．
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