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1. (2024九下·岳池月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数解析式．
3. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积的最大值．
5. （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·长沙月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．
1. （1）若m=2，n= $\text{[math]}$ ，求该抛物线与x轴的两个交点之间的距离；
3. （2）若抛物线过点 $\text{[math]}$ ，且对于抛物线上任意一点 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是这条抛物线上不同的两点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）将抛物线 $\text{[math]}$ 平移至顶点为 $\text{[math]}$ ，且与直线 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，
  若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值．
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1. (2024·老河口模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C ，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m ．
1. （1）直接写出b ， c的值；
3. （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l ，点D为直线l上一动点，若点P在直线l左侧的抛物线上，当PD⊥AD ， PD＝AD时，求m的值；
5. （3）直线OP与直线AC相交于点M ， $\text{[math]}$ 的值记为d ．
  ①求d关于m的函数解析式；
  ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
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1. (2024九下·花溪月考) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.
1. （1）求抛物线和直线l的函数表达式.
3. （2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
  ①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
  ②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
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1. (2024·长沙模拟) 已知四个实数 $\text{[math]}$ ，规定新运算： $\text{[math]}$ ；若一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
1. （1）下列关于 $\text{[math]}$ 的二次函数是否与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”；
  ① $\text{[math]}$ （）；② $\text{[math]}$ （）；③ $\text{[math]}$ （）．
3. （2）已知一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不重合），若二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”；
5. （3）已知二次函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 互为“和谐函数”，并且二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，记抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的外接圆圆心为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，是否存在四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形？若存在，求此时顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·广东模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，并交 $\text{[math]}$ 轴于另一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的表达式；
3. （2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
5. （3）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·江门模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为边 $\text{[math]}$ 的中点，点F为 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点G ，以 $\text{[math]}$ 为底边在 $\text{[math]}$ 下方作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图①，若点H恰好落在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （2）如图②．点H落在矩形 $\text{[math]}$ 内，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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1. (2024·揭东模拟) 如图， $\text{[math]}$ 的两直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 轴的负半轴和 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点，且顶点在直线 $\text{[math]}$ 上．
1. （1）求抛物线对应的函数关系式；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 是由 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移得到的，当四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，试判断点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 是否在该抛物线上，并说明理由；
5. （3）在 $\text{[math]}$ 的前提下，若 $\text{[math]}$ 点是 $\text{[math]}$ 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式，并求 $\text{[math]}$ 取最大值时，点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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1. (2024·阳江模拟) 综合运用
如题图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）设点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以 $\text{[math]}$ 为边，点B ， C ， M ， N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·珠海模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C ，点D是抛物线上一动点，点E是线段AC的中点，连接AD ，以AE和AD为一组邻边作□ADGE ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求□ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；
5. （3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．
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