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1. (2024九下·双流月考) 如图1，在平面直角坐标系中 $\text{[math]}$ 抛物线经过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，交y轴于C ．
1. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
3. （2）若P为y轴上的一动点，且 $\text{[math]}$ 的值最大，则点P坐标为（直接填写答案）；
5. （3）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，点M在线段 $\text{[math]}$ 上（不与A、B重合），作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点N ，是否存在这样的点M ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·旌阳模拟) 平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式，并直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （2）在抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；
5. （3）如图，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 最小，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；
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1. (2024·仁和模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）如图1，若点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度最大时，判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状并说明理由；
5. （3）如图2，在（2）的条件下，D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $\text{[math]}$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·长春净月高新技术产业开发模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）经过点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴时，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）将抛物线点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 之间的部分记为图象 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值之差为1时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
7. （4）以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ，当对称轴将四边形分成两部分，且面积比为 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024·成都模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴，y轴于A ， C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线 $\text{[math]}$ 过A ， B ， C三点．
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）过点B作 $\text{[math]}$ 交y轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上的一动点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及最大值时点P的坐标；
5. （3）如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线 $\text{[math]}$ 与新抛物线交于O ， G两点，点H是线段 $\text{[math]}$ 的中点，过H作直线 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ 重合）与新抛物线交于R ， Q两点，点R在点Q左侧．直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点T ，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
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1. (2024·叙州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数解析式；
3. （2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q ，交AB于点M ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点P的坐标；
5. （3）在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 与点P关于抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、 $\text{[math]}$ 、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
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1. (2024九下·隆昌月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A（ $\text{[math]}$ ， 0）和点B（4，0），与y轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ， BC ， BC与抛物线的对称轴l交于点E
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ， PC ，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
5. （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M ，使得以点M ， N ， E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。
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1. (2024九下·黄石月考) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B ，与y轴交于点C ，顶点D的坐标为（1，﹣4）．
1. （1）直接写出抛物线的解析式；
3. （2）如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD ，求点P的坐标；
5. （3）如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N ， Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
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1. (2024九下·肇源开学考) 如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ $\text{[math]}$ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
1. （1）求抛物线的表达式；
3. （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
5. （3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024·雅安模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 图象 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点；
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 向上平移 $\text{[math]}$ 个单位得抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 点作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的一动点，若存在 $\text{[math]}$ 有且只有一种情况，求此时 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）如图2，恒过定点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 点的直线 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，作直线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 恒过的定点坐标．
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