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1. (2024·莘县模拟) 已知如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式；
3. （2）在直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上，是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 的面积最大？最大面积是多少？
5. （3）点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 构成矩形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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1. (2024·潮南模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数， $\text{[math]}$ ）．设该抛物线与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
3. （2）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，若点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；
5. （3）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，记， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的最大值及 $\text{[math]}$ 最大值时 $\text{[math]}$ 点的坐标．
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1. (2023·安徽模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的两个交点坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （2）矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在x轴上（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合），另两个顶点 $\text{[math]}$ 在抛物线上（如图）．
  ①当点P在什么位置时，矩形 $\text{[math]}$ 的周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；
  ②判断命题“当矩形 $\text{[math]}$ 周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．
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1. (2024·喀什模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的解析式；
3. （2）点 $\text{[math]}$ 为该二次函数第一象限上一点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求 $\text{[math]}$ 点的坐标；
5. （3） $\text{[math]}$ 为二次函数上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，当 $\text{[math]}$ 成的四边形是平行四边形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．
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1. (2024九下·岳塘期中) 抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上一动点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$
1. （1）求抛物线的表达式．
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，如果存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．
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1. (2024九下·河源月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，点O为坐标原点．
1. （1）求A ， B两点的坐标；
3. （2）若点D是线段 $\text{[math]}$ 上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点M ， N ．
  ①求直线 $\text{[math]}$ 的解析式（用含a的式子表示）；
  ②设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求此时点P的横坐标．
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1. (2024·抚州模拟) 定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
1. （1）【概念理解】
  抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 是否围成“月牙线”？说明理由．
3. （2）【尝试应用】
  抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 组成一个如图所示的“月牙线”，与 $\text{[math]}$ 轴有相同的交点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的值．
  ②已知点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 在“月牙线”上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的值始终不大于2，求线段 $\text{[math]}$ 长的取值范围．
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1. (2024·东兴会考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为常数，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点(点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧)，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为该抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 为该抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
3. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 向下平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点，请问在平移过程中，是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似(包含全等)?若存在，请求出所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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1. (2024·重庆市模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
3. （2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点， $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点N ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的最大值；
5. （3）如图2，在 $\text{[math]}$ 轴上取一点 $\text{[math]}$ ，抛物线沿 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位得新抛物线，新抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，线段 $\text{[math]}$ 关于线段 $\text{[math]}$ 的对称线段 $\text{[math]}$ 所在直线交新抛物线于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成夹角为 $\text{[math]}$ ，直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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1. (2024九下·枣阳期中) 把抛物线y=﹣2x²先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（　　）

A . y=﹣2（x+1）²+2 B . y=﹣2（x+1）²﹣2 C . y=﹣2（x﹣1）²+2 D . y=﹣2（x﹣1）²﹣2

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