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1. (2024高二下·遵义期中) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，虚轴长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线C的方程；
3. （2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P ， Q两点，O为坐标原点，证明： $\text{[math]}$ 的面积为定值．
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1. (2024高三下·桂林模拟) 双曲线C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程；
3. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线l与C的左、右两支分别交于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 不在x轴上），判断是否存在实数k使得 $\text{[math]}$ ．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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1. (2024高二下·潮阳期中) 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 $\text{[math]}$ . E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线C的标准方程；
3. （2）过椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M ， N两点，且 $\text{[math]}$ ，是否存在m ， n使得椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.
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1. (2024高二下·惠州月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上的动点，过 $\text{[math]}$ 作两渐近线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线相切，则下列命题正确的是（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为定值 C . $\text{[math]}$ 的最小值为3 D . 若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）的斜率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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1. (2024·德阳模拟) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 2

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1. (2024高三下·十堰模拟) 数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖暅原理”：幂势既同，则积不容异．用现代语言可以描述为夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图1，这是某细腰鼓型工艺品（上、下对称），其轴截面近似为图2中的实线图形，两段曲线是双曲线C： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的一部分，内部虚线为双曲线C的渐近线．若该工艺品的底面圆的直径为4，高为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；利用祖窑原理可求得该工艺品的体积为．

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1. (2024高三下·保定模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高三下·成都模拟) 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线分别交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的面积为8，则 $\text{[math]}$ 的焦距的最小值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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1. (2023·成华模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点，点 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上的点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内切圆的圆心，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·内江模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，以双曲线C的右顶点A为圆心，b为半径作圆A ，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离线率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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