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1. (2024高三下·射洪模拟) 如图，有三座城市 $\text{[math]}$ ．其中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的正东方向，且与 $\text{[math]}$ 相距120 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的北偏东30°方向，且与 $\text{[math]}$ 相距60 $\text{[math]}$ ．一架飞机从城市 $\text{[math]}$ 出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市 $\text{[math]}$ 的北偏东45°的D点处时，飞机出现故障，必须在城市 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行 $\text{[math]}$ ，才能降落．

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1. (2024高三下·湖北模拟) 记 $\text{[math]}$ 的角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
3. （2）若点D是BC边上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024高一下·大理期中) 如图，为了测量两山顶 $\text{[math]}$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $\text{[math]}$ 两点进行测量， $\text{[math]}$ 在同一个铅垂平面内.已知飞机在 $\text{[math]}$ 点时，测得 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点时，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 千米，则 $\text{[math]}$ （）
（提示： $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ 千米 B . $\text{[math]}$ 千米 C . $\text{[math]}$ 千米 D . $\text{[math]}$ 千米

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1. (2024高一下·浏阳期中) 如图，有一直径为 $\text{[math]}$ 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 $\text{[math]}$ 倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的 $\text{[math]}$ 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）设 $\text{[math]}$ ，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
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1. (2024高二下·平果期中) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求角 $\text{[math]}$ 的大小．
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1. (2024高一下·浦北期中) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024高一下·珠海期中) 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $\text{[math]}$ 内举行机器人拦截挑战赛，在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人甲，同时在 $\text{[math]}$ 处按 $\text{[math]}$ 方向释放机器人乙，设机器人乙在 $\text{[math]}$ 处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点 $\text{[math]}$ 在矩形区域 $\text{[math]}$ 内 $\text{[math]}$ 包含边界 $\text{[math]}$ ，则挑战成功，否则挑战失败 $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若两机器人运动方向的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
3. （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的 $\text{[math]}$ 倍．
  $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长，求机器人乙能否挑战成功．
  $\text{[math]}$ 如何设计矩形区域 $\text{[math]}$ 的宽 $\text{[math]}$ 的长度，才能确保无论 $\text{[math]}$ 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 $\text{[math]}$ 使机器人乙挑战成功？
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1. (2024高一下·珠海期中) 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A ， B两点间的距离是多少？

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1. (2024高一下·广州期中) 某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底 $\text{[math]}$ 的同一水平面上的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点处进行测量，已知在 $\text{[math]}$ 处测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 处测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，则该塔的高度 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高一下·禄劝期中) 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区： $\text{[math]}$ 区域规划为枇杷林和放养走地鸡， $\text{[math]}$ 区域规划为民宿供游客住宿及餐饮， $\text{[math]}$ 区域规划为鱼塘养鱼供垂钓．为安全起见，在鱼塘 $\text{[math]}$ 周围筑起护栏，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求护栏的长度（即 $\text{[math]}$ 的周长）；
3. （2）若鱼塘 $\text{[math]}$ 的面积是民宿 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 倍，求 $\text{[math]}$ ．
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