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1. (2023九上·安吉月考)
1. （1）已知线段 $\text{[math]}$ ，求线段a ， b的比例中项线段c的长．
3. （2）已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2024九上·杭州月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （2）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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1. (2024九上·杭州月考) 如图1，四边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径， $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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1. (2024九上·杭州月考) 如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：△ADE∽△ABC；
3. （2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
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1. (2023九上·安吉月考) 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．
1. （1）探索发现：
  图1中， $\text{[math]}$ 的值为， $\text{[math]}$ 的值为．
3. （2）拓展探究
  若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中 $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
5. （3）问题解决
  当△CDE旋转至A ， D ， C三点共线时，直接写出线段BE的长．
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1. (2023九上·萧山月考) 在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
1. （1）计算摸取的两张纸牌上数字之和为5的概率；
3. （2）甲、乙两人进行游戏，如果摸取的两张纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果摸取的两张纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
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1. (2023九上·安吉月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 的内接四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2023九上·萧山月考) 二次函数 y = x²+2x-1的图象与y轴的交点坐标是（）

A . （-2，0） B . （0，-2） C . （-1，0） D . （0，-1 ）

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1. (2023九上·萧山月考) 函数图象 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有交点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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1. (2024九上·杭州月考) 根据以下素材，探索完成任务

如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案?
素材1	图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．某时测得水面宽 $\text{[math]}$ ，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2	为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）

任务1	确定桥拱形状	根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2	拟定设计方案	求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3	探究救生绳长度	当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）

问题解决

（1）任务1 确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2 拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3 探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）

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