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1. (2024·南漳模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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1. (2024·南充模拟) 如图，在⊙O中，AB是弦，过点O作OA⊥OC与AB交于点C ，在OC的延长线取点D ，使DC＝DB ．
1. （1）求证：BD是⊙O的切线；
3. （2）若BC＝4， $\text{[math]}$ ，求⊙O的半径长．
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1. (2024九下·游仙月考) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，二次函数的最大值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点．
1. （1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
3. （2）如图 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
5. （3）如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 也是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），分别过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，且周长 $\text{[math]}$ 最大时，求 $\text{[math]}$ 的最大值及相应的点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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1. (2024·镇海区月考) 图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，始终与平台l垂直，连杆BC长度为60cm，机械臂CD长度为40cm，点B，C是转动点，AB，BC与CD始终在同一平面内，张角∠ABC可在60°与120°之间（可以达到60°与120°）变化，CD可以绕点C任意转动．
1. （1）转动连杆BC，机械臂CD，使张角∠ABC最大，且CD∥AB，如图2，求机械臂臂端D到操作台l的距离DE的长．
3. （2）转动连杆BC，机械臂CD，要使机械臂端D能碰到操作台l上的物体M，则物体M离底座A的最远距离和最近距离分别是多少？
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1. (2024·蒸湘模拟) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，以边 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 经过点C ， E是 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径；
5. （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．（结果保留π）
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1. (2024九下·武汉月考)
1. （1）问题发现
  图（1），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点M.
  ① $\text{[math]}$ 的值为；② $\text{[math]}$ 的度数为．
3. （2）类比探究
  图（2），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点M ，请计算 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数；
5. （3）拓展延伸
  在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点O在平面内旋转一周．
  ①当直线 $\text{[math]}$ 经过点B且点C在线段 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的长；
  ②请直接写出运动过程中M点到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值．
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1. (2024九下·武汉月考) 如图，是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点， $\text{[math]}$ 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在网格中画图，画图过程用虚线，画图结果用实线表示．
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 上画一点E ，使 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为F；
3. （2）如图2， D是网格中的格点，在线段 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；在 $\text{[math]}$ 上找点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024七下·恩施月考) 一副直角三角板如图放置，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °．

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1. (2024九下·瑞安开学考) 阅读材料，完成任务．

知识条目	定义：如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 的图像只有一个公共点 $\text{[math]}$ ，即方程联立 $\text{[math]}$ 有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点 $\text{[math]}$ ．
图形应用	在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感。
知识延伸	任务一：在图1中， $\text{[math]}$ 分别是这两段抛物线的顶点，请证明 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 三点共线．
知识应用	如图3，长方形 $\text{[math]}$ 是一处景观， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，设计了两段抛物线 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 紧密衔接于点 $\text{[math]}$ 分别是两条抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上． $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径，和以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的一半长度为半径设计两个圆形花坛．任务二：如图3，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于 $\text{[math]}$ 点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式．任务三：为了设计整体感观更加和谐，使 $\text{[math]}$ 三点共线，求出此时 $\text{[math]}$ 上的点到 $\text{[math]}$ 边最小长度．

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1. (2024九下·瑞安开学考) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径的圆与 $\text{[math]}$ 边相切于 $\text{[math]}$ 点，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 是下半圆弧上的中点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
3. （2）求 $\text{[math]}$ 的半径和 $\text{[math]}$ 的长．
5. （3） $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的 $\text{[math]}$ 的长．
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