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1. (2024九下·镇海区开学考) 已知锐角 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系；
3. （2）如图，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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1. (2024九下·南山月考) 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为台面截线，半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .水面截线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图（1）求水深 $\text{[math]}$ ；
3. （2）将图（1）中的老碗先沿台面 $\text{[math]}$ 向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，求此时最高点 $\text{[math]}$ 和最低点 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时 $\text{[math]}$ ，求滚动过程中圆心 $\text{[math]}$ 运动的路径长.
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1. (2024九下·南山开学考) 综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的 $\text{[math]}$ 为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
1. （1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ 此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，请在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ ．
3. （2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ 此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，请在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 结果保留根号 $\text{[math]}$ ．
5. （3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，设其中心到顶点的距离是 $\text{[math]}$ ，以车轮转动一次 $\text{[math]}$ 以一个顶点为支点旋转 $\text{[math]}$ 为例，中心的轨迹是 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ ．此时中心轨迹最高点是 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，转动一次前后中心的连线是 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ ，在图 $\text{[math]}$ 中计算 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 结果保留根号 $\text{[math]}$ ．
7. （4）归纳推理：比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 填“越大”或“越小” $\text{[math]}$ ．
9. （5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图 $\text{[math]}$ ，其中心 $\text{[math]}$ 即圆心 $\text{[math]}$ 的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线 $\text{[math]}$ 水平线 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 这样车辆行驶平稳、没有颠簸感 $\text{[math]}$ 所以，将车轮设计成圆形．
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1. (2024九下·深圳月考) 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，过点B作BE⊥CD交CD于E ，交⊙O于F ， ∠EBC＝2∠DAC ．
1. （1）求证：CD是⊙O的切线；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， ⊙O的半径为5，求BC的长．
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1. (2024·霞山模拟) 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E ， AC⊥PQ于C ，交⊙O于D ．
1. （1）求证：AE平分∠BAC；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， ∠BAC＝60°，求⊙O的半径．
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1. (2024·沙田模拟) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D ，连接BD、CD ，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P ．
1. （1）求证：PD是⊙O的切线；
3. （2）求证：△ABD∽△DCP；
5. （3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
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1. (2024九下·湖州月考) 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，过点A的切线交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D ， E是 $\text{[math]}$ 上一点，点C ， E分别位于直径 $\text{[math]}$ 异侧，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为点F ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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1. (2024·五华模拟) 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究。
如图1，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在直线、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【初步感知】求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
3. （2）【深入研究】当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。
5. （3）【拓展延伸】如图2，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长。
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1. (2024·浙江模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，点 $\text{[math]}$ 是切点，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·浙江模拟) 如图1，E点为x轴正半轴上一点， $\text{[math]}$ 交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧 $\text{[math]}$ 上一个动点，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1） $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ；
3. （2）如图2，连结 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点G，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为；
5. （3）如图3，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于Q点，求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）如图4，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： $\text{[math]}$ 为定值，并求出这个定值．
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