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1. (2024·津市市模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·常德模拟) “板车”具有悠久的历史，是上世纪 $\text{[math]}$ 年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用 $\text{[math]}$ 如图是板车侧面部分的示意图 $\text{[math]}$ 是车轮 $\text{[math]}$ 的直径，过圆心 $\text{[math]}$ 的车架 $\text{[math]}$ 一端点 $\text{[math]}$ 着地时，地面 $\text{[math]}$ 与车轮 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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1. (2024·江汉模拟) 木匠师傅用长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，有如下两种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线 $\text{[math]}$ 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆．则方案二比方案一的半径大（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·深圳模拟) 如图，以 $\text{[math]}$ 的边AB为直径作 $\text{[math]}$ 分别交AC ， BC于点D ， E ，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为F ， EF与AB的延长线交于点G ．
1. （1）以下条件：
  ①E是劣弧BD的中点：
  ② $\text{[math]}$ ；
  ③ $\text{[math]}$ ．
  请从中选择一个能证明EF是 $\text{[math]}$ 的切线的条件，并写出证明过程：
3. （2）若EF是是 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ ，求BG的长．
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1. (2024九下·长沙月考) 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆周上一点，OC的延长线交⊙O的切线BD于点D，AC的延长线交⊙O的切线BD于点E．
1. （1）若∠A=35°，求∠DBC的度数；
3. （2）证明：CE·BD=BC·CD；
5. （3）若AB＝8，sinD＝ $\text{[math]}$ ，求BE的长．
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1. (2024九下·随州模拟) 如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，则∠PAB的大小为（）

A . 18° B . 36° C . 54° D . 72°

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1. (2024·湖北模拟) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，A ， B是切点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·湖北模拟) 如图，在三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是圆上一点，点 $\text{[math]}$ 是劣弧 $\text{[math]}$ 的中点，弦 $\text{[math]}$ 的延长线交切线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求圆 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2024·阳江模拟) 如题图，在 $\text{[math]}$ 中，O是边 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 恰好与边 $\text{[math]}$ 相切于点B ，与边 $\text{[math]}$ 交于C ， D两点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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1. (2024·珠海模拟) 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与 $\text{[math]}$ 相切于点C ， AB为 $\text{[math]}$ 的直径，点A ， B ， F均在 $\text{[math]}$ 上，且OA ， OB ， OF为不同时刻晷针的影长，OF ， OB的延长线分别与DE相交于点E ， D ，连接AC ， BC ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BC的长．
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