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1. (2024高二下·泸县期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列选项中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 D . 数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·成都期中) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则 $\text{[math]}$ （用数字作答）．

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1. (2024高二下·成都期中) 在各项均为正数的等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·衡阳模拟) 某电竞平台开发了 $\text{[math]}$ 两款训练手脑协同能力的游戏， $\text{[math]}$ 款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分. $\text{[math]}$ 款游戏规则是：共设计了 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 关，每位玩家都有 $\text{[math]}$ 次闯关机会，每关闯关成功的概率为 $\text{[math]}$ ，不成功的概率为 $\text{[math]}$ ，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩 $\text{[math]}$ 两款游戏.
1. （1）电竞游戏玩家甲玩 $\text{[math]}$ 款游戏，若第一关通过的概率为 $\text{[math]}$ ，第二关通过的概率为 $\text{[math]}$ ，求甲可以进入第三关的概率；
3. （2）电竞游戏玩家甲玩 $\text{[math]}$ 款游戏，记玩家甲第 $\text{[math]}$ 次闯关获得的分数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的解析式，并求 $\text{[math]}$ 的值.（精确到0.1，参考数据： $\text{[math]}$ .）
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1. (2024高三下·十堰模拟) 函数 $\text{[math]}$ 称为取整函数，也称为高斯函数，其中 $\text{[math]}$ 表示不超过实数x的最大整数，例如： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．对于任意的实数x，定义 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．
3. （2）设 $\text{[math]}$ ，从全体正整数中除去所有 $\text{[math]}$ ，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列 $\text{[math]}$ ．
  ①求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
  ②证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高三下·茂名模拟) 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $\text{[math]}$ 个等差数列的第 $\text{[math]}$ 项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）若m为给定的值，且对任意n有 $\text{[math]}$ ，证明：存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
5. （3）若 $\text{[math]}$ 为等比数列，证明： $\text{[math]}$ .
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1. (2024·三台模拟) 记 $\text{[math]}$ 为等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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1. (2024·深圳模拟) 无穷数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $\text{[math]}$ ﹔如果n是奇数，就对 $\text{[math]}$ 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出这个数列的前7项；
3. （2）如果 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求m，n的值；
5. （3）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求一个正整数n，满足 $\text{[math]}$ ．
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1. (2024·深圳模拟) 已知n为正整数，且 $\text{[math]}$ ，则

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高三下·成都模拟) 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $\text{[math]}$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $\text{[math]}$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β ，一轮试验中甲药的得分记为X ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的分布列；
3. （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $\text{[math]}$ 表示“甲药的累计得分为 $\text{[math]}$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．假设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  (i)证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为等比数列；
  (ii)求 $\text{[math]}$ ，并根据 $\text{[math]}$ 的值解释这种试验方案的合理性．
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