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1. (2024高三下·沧州月考) 抽屉原则是德国数学家狄利克雷（P.G.T.Dirichlet，1805~1859）首先提出来的，也称狄利克雷原则. 它有以下几个基本表现形式（下面各形式中所涉及的字母均为正整数）：
形式1：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有两个或两个以上的元素.
形式2：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一集合中含有 $\text{[math]}$ 个或 $\text{[math]}$ 个以上的元素.
形式3：把无穷多个元素分为有限个集合，那么必有一个集合中含有无穷多个元素.
形式4：把 $\text{[math]}$ 个元素分为 $\text{[math]}$ 个集合，那么必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ ，也必有一个集合中的元素个数 $\text{[math]}$ .（注：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数， $\text{[math]}$ 表示不小于 $\text{[math]}$ 的最小整数）. 根据上述原则形式解决下面问题：
1. （1） ①举例说明形式1；
  ②举例说明形式3，并用列举法或描述法表示相关集合.
3. （2）证明形式2；
5. （3）圆周上有2024个点，在其上任意标上 $\text{[math]}$ （每点只标一个数，不同的点标上不同的数）.
  ①从上面这2024个数中任意挑选1013个数，证明在这1013个数中一定有两个数互质；（若两个整数的公约数只有1，则这两个整数互质）
  ②证明：在上面的圆周上一定存在一点和与它相邻的两个点所标的三个数之和不小于3038.
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1. (2024高一下·抚松月考) 定义：若函数 $\text{[math]}$ 的值域是定义域的子集，则称 $\text{[math]}$ 是紧缩函数．
1. （1）试问函数 $\text{[math]}$ 是否为紧缩函数？说明你的理由．
3. （2）若函数 $\text{[math]}$ 是紧缩函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
5. （3）已知常数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是紧缩函数，求 $\text{[math]}$ 的取值集合．
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1. (2024高一下·浏阳期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高一下·潮阳期中) 下列命题中真命题的个数是（）
①命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定为“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”；
②“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充要条件；
③集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示同一集合．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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1. (2024高二下·长沙期中) 若集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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1. (2024高一下·浙江期中) 设集合 $\text{[math]}$ ．定义：和集合 $\text{[math]}$ ，积集合 $\text{[math]}$ ，分别用 $\text{[math]}$ 表示集合 $\text{[math]}$ 中元素的个数．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ ；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的所有可能的值组成的集合；
5. （3）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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1. (2024高一下·浙江期中) 设非空数集M，对于M中任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
1. （1）判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
3. （2）若M是一个数环，证明： $\text{[math]}$ ；若S是一个数域，证明： $\text{[math]}$ ；
5. （3）设 $\text{[math]}$ ，证明A是数域.
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1. (2024高三下·保定模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高三下·成都模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 1

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1. (2024·内江模拟) 集合 $\text{[math]}$ 的子集个数是（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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