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1. (2024高二下·安宁期末) 某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过A、B、C三位导师审核的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且各老师的审核互不影响．
1. （1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
3. （2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X ，求X的分布列和数学期望．
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1. (2024高一下·大理月考) 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，且每次射击命中与否互不影响，现两人玩射击游戏，规则如下：每次由1人进行射击，若射击一次不中，则原射击人继续射击，若射击一次命中，则换对方接替射击，且第一次由甲射击.则前4次中甲恰好射击3次的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024高二下·辽宁月考) 已知有 $\text{[math]}$ 两个盒子，其中 $\text{[math]}$ 盒装有3个黑球和3个白球， $\text{[math]}$ 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入 $\text{[math]}$ 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是．

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1. (2024高二下·辽宁月考) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件 $\text{[math]}$ ， “第二次向上的点数是奇数”为事件 $\text{[math]}$ ， “两次向上的点数之和能被3整除”为事件 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 互为对立事件 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 相互不独立

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1. (2024高二下·吉林月考) 甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为 $\text{[math]}$ ，乙投篮投中的概率为 $\text{[math]}$ .由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立.
1. （1）在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率.
3. （2）已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件 $\text{[math]}$ “改变比赛规则”，事件 $\text{[math]}$ “乙获胜”，已知 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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1. (2024高二下·广安月考) 有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为 $\text{[math]}$ ，第2，3台次品率为 $\text{[math]}$ ，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的 $\text{[math]}$ ，记事件 $\text{[math]}$ “任取一个零件为次品”，事件 $\text{[math]}$ “零件为第i台车床加工”（ $\text{[math]}$ ），则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·新课标Ⅱ卷) 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为 $\text{[math]}$ ，各次投中与否相互独立．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
3. （2）假设 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
  （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
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1. (2024·上海) 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A . 事件A与事件B互斥 B . 事件A与事件B相互独立 C . 事件A与事件B∪C互斥 D . 事件A与事件B∩C相互独立

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1. (2024高三下·社旗模拟) 甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 $\text{[math]}$ 表示事件“取出的是白球”，则下列结论中不正确的是（）

A . 事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两两互斥的事件 B . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 为相互独立事件 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. (2024·温州月考) 某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（）

A . 若不放回取球，则甲乙相互独立 B . 若有放回取球，则甲乙相互独立 C . 若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D . 若有放回取球，则甲乙为互斥事件

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